Exerciții de matematică cu răspunsuri

2589 exerciții · pagina 91 din 130

1. Clasa a VII-aUșor

   Segmente proporționale și teorema lui Thales›Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

   Ce înseamnă că mai multe drepte paralele sunt echidistante?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Distanțele dintre oricare două drepte paralele consecutive sunt egale.

   Vezi lecția
2. Clasa a VII-aMediu

   Segmente proporționale și teorema lui Thales›Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

   $AB = 2{,}4$ cm, $CD = 0{,}8$ cm. Calculează $\dfrac{AB}{CD}$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $3$.

   Vezi lecția
3. Clasa a VII-aMediu

   Segmente proporționale și teorema lui Thales›Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

   Sunt segmentele $AB = 9$ cm, $CD = 6$ cm, $MN = 15$ cm, $PQ = 10$ cm proporționale, în această ordine?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Da.

   Arată rezolvarea

   $\dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}$ și $\dfrac{15}{10} = \dfrac{3}{2}$: rapoartele sunt egale.

   Vezi lecția
4. Clasa a VII-aMediu

   Segmente proporționale și teorema lui Thales›Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

   Sunt segmentele $AB = 5$ cm, $CD = 8$ cm, $MN = 10$ cm, $PQ = 15$ cm proporționale, în această ordine?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Nu.

   Arată rezolvarea

   $\dfrac{5}{8} = 0{,}625$, iar $\dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}667$: rapoartele nu sunt egale.

   Vezi lecția
5. Clasa a VII-aMediu

   Segmente proporționale și teorema lui Thales›Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

   $AB = 6$ cm, $CD = 9$ cm, $MN = 8$ cm, $PQ = x$ sunt proporționale, în această ordine. Calculează $x$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $x = 12$ cm.

   Arată rezolvarea

   $6 \cdot x = 9 \cdot 8 \Rightarrow 6x = 72 \Rightarrow x = 12$.

   Vezi lecția
6. Clasa a VII-aMediu

   Segmente proporționale și teorema lui Thales›Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

   $AB = 10$ cm, $CD = y$, $MN = 15$ cm, $PQ = 9$ cm sunt proporționale, în această ordine. Calculează $y$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $y = 6$ cm.

   Arată rezolvarea

   $10 \cdot 9 = y \cdot 15 \Rightarrow 15y = 90 \Rightarrow y = 6$.

   Vezi lecția
7. Clasa a VII-aMediu

   Segmente proporționale și teorema lui Thales›Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

   $AB = x$, $CD = 4$ cm, $MN = 21$ cm, $PQ = 12$ cm sunt proporționale, în această ordine. Calculează $x$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $x = 7$ cm.

   Arată rezolvarea

   $x \cdot 12 = 4 \cdot 21 \Rightarrow 12x = 84 \Rightarrow x = 7$.

   Vezi lecția
8. Clasa a VII-aMediu

   Segmente proporționale și teorema lui Thales›Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

   Patru drepte paralele echidistante taie pe o secantă segmentele $P_0P_1 = P_1P_2 = P_2P_3 = 3{,}5$ cm. Calculează $P_0P_3$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $10{,}5$ cm.

   Vezi lecția
9. Clasa a VII-aMediu

   Segmente proporționale și teorema lui Thales›Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

   Trei drepte paralele echidistante taie pe secanta $d$ segmentele $AB = BC$. Se știe $AC = 22$ cm. Cât este $AB$?

   Arată răspunsul

   Răspuns: $11$ cm.

   Arată rezolvarea

   $AB = BC$ și $AB + BC = AC$, deci $AB = \dfrac{22}{2} = 11$ cm.

   Vezi lecția
10. Clasa a VII-aMediu

    Segmente proporționale și teorema lui Thales›Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

    Un elev scrie proporția $AB, CD, MN, PQ$ ca $\dfrac{AB}{MN} = \dfrac{CD}{PQ}$. Este echivalentă cu $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{MN}{PQ}$?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Da.

    Arată rezolvarea

    Este obținută prin schimbarea mezilor între ei, o proporție derivată echivalentă cu cea inițială.

    Vezi lecția
11. Clasa a VII-aMediu

    Segmente proporționale și teorema lui Thales›Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

    $AB = 3$ m și $CD = 150$ cm. Sunt $AB$ și $CD$ proporționale cu $MN = 4$ m și $PQ = 2$ m, în această ordine?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Da.

    Arată rezolvarea

    $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{300}{150} = 2$ și $\dfrac{MN}{PQ} = \dfrac{4}{2} = 2$: rapoartele sunt egale.

    Vezi lecția
12. Clasa a VII-aMediu

    Segmente proporționale și teorema lui Thales›Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

    Trei drepte care NU sunt paralele taie o secantă în segmente egale $AB = BC$. Poți concluziona, cu teorema paralelelor echidistante, că taie segmente egale și pe o altă secantă?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Nu.

    Arată rezolvarea

    Teorema cere ca dreptele să fie paralele. Fără paralelism, dreptele nu păstrează același „pas” pe alte secante.

    Vezi lecția
13. Clasa a VII-aMediu

    Segmente proporționale și teorema lui Thales›Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

    Adevărat sau fals: „Dacă $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{MN}{PQ}$, atunci și $\dfrac{CD}{AB} = \dfrac{PQ}{MN}$.”

    Arată răspunsul

    Răspuns: Adevărat.

    Arată rezolvarea

    Inversarea ambelor rapoarte dintr-o proporție păstrează egalitatea.

    Vezi lecția
14. Clasa a VII-aMediu

    Segmente proporționale și teorema lui Thales›Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

    O secantă taie patru drepte paralele echidistante în punctele $A$, $B$, $C$, $D$. Se știe $AB = 2{,}5$ cm. Calculează $AD$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $7{,}5$ cm.

    Arată rezolvarea

    $AB = BC = CD = 2{,}5$ cm, deci $AD = 3 \cdot 2{,}5 = 7{,}5$ cm.

    Vezi lecția
15. Clasa a VII-aProvocare

    Segmente proporționale și teorema lui Thales›Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

    Segmentele $AB$, $CD$, $MN$, $PQ$ sunt proporționale, în această ordine, cu $AB = 3k$, $CD = 5k$, $MN = 9$ cm, $PQ = 15$ cm, unde $k > 0$. Arată că egalitatea are loc pentru orice $k$ și explică de ce.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Rapoartele sunt mereu egale, indiferent de $k$.

    Arată rezolvarea

    $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{3k}{5k} = \dfrac{3}{5}$ (pentru $k \neq 0$, se simplifică) și $\dfrac{MN}{PQ} = \dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}$: rapoartele sunt egale pentru orice $k > 0$, pentru că $k$ se simplifică.

    Vezi lecția
16. Clasa a VII-aProvocare

    Segmente proporționale și teorema lui Thales›Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

    $AB = 2x + 1$, $CD = x + 2$, $MN = 15$ cm, $PQ = 9$ cm sunt proporționale, în această ordine (toate în cm). Calculează $x$ și lungimile $AB$, $CD$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $x = 7$; $AB = 15$ cm, $CD = 9$ cm.

    Arată rezolvarea

    $(2x+1) \cdot 9 = (x+2) \cdot 15 \Rightarrow 18x + 9 = 15x + 30 \Rightarrow 3x = 21 \Rightarrow x = 7$. Atunci $AB = 15$ cm, $CD = 9$ cm; verificare: $\dfrac{15}{9} = \dfrac{5}{3}$ și $\dfrac{MN}{PQ} = \dfrac{15}{9} = \dfrac{5}{3}$.

    Vezi lecția
17. Clasa a VII-aProvocare

    Segmente proporționale și teorema lui Thales›Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

    Cinci drepte paralele echidistante taie pe o secantă un segment total de $36$ cm, împărțit în patru părți egale de către cele cinci drepte. Calculează lungimea fiecărei părți și, pe o a doua secantă, lungimea segmentului total, știind că prima parte de pe a doua secantă este $9{,}5$ cm.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Fiecare parte de pe prima secantă are $9$ cm; segmentul total de pe a doua secantă are $38$ cm.

    Arată rezolvarea

    $36 : 4 = 9$ cm fiecare parte; pe a doua secantă toate cele patru părți sunt egale cu $9{,}5$ cm (teorema), deci total $4 \cdot 9{,}5 = 38$ cm.

    Vezi lecția
18. Clasa a VII-aProvocare

    Segmente proporționale și teorema lui Thales›Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

    Un teren în formă de fâșie lungă de $63$ m trebuie împărțit în $7$ loturi egale, folosind o rețea de drepte paralele echidistante, ca în aplicația din lecție. Ce distanță trebuie să fie între oricare două drepte consecutive ale rețelei, dacă fâșia este așezată exact perpendicular pe drepte?

    Arată răspunsul

    Răspuns: $9$ m.

    Arată rezolvarea

    $63 : 7 = 9$ m; când secanta este perpendiculară pe drepte, distanța dintre drepte este chiar lungimea fiecărui segment tăiat.

    Vezi lecția
19. Clasa a VII-aProvocare

    Segmente proporționale și teorema lui Thales›Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

    Fie triunghiul $ABC$ și $M$ mijlocul lui $AB$. Dreapta prin $M$, paralelă cu $BC$, taie $AC$ în $N$. Demonstrează, cu teorema paralelelor echidistante, că $N$ este mijlocul lui $AC$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $AN = NC$, deci $N$ este mijlocul lui $AC$.

    Arată rezolvarea

    Considerăm trei drepte paralele: paralela prin $A$ la $BC$, dreapta $MN$ și dreapta $BC$. Pe secanta $AB$ ele taie segmentele $AM$ și $MB$, egale (ipoteză). Conform teoremei, pe secanta $AC$ ele taie segmente egale: $AN = NC$.

    Vezi lecția
20. Clasa a VII-aProvocare

    Segmente proporționale și teorema lui Thales›Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

    Segmentele $AB$, $CD$, $MN$, $PQ$ sunt proporționale, în această ordine, cu raportul comun $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{MN}{PQ} = \dfrac{3}{2}$. Se știe $AB + CD = 25$ cm și $MN = 18$ cm. Calculează $AB$, $CD$ și $PQ$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $AB = 15$ cm, $CD = 10$ cm, $PQ = 12$ cm.

    Arată rezolvarea

    $AB = \dfrac{3}{2} CD$, deci $\dfrac{3}{2} CD + CD = 25 \Rightarrow \dfrac{5}{2} CD = 25 \Rightarrow CD = 10$ și $AB = 15$. Din $\dfrac{MN}{PQ} = \dfrac{3}{2}$: $PQ = \dfrac{2}{3} \cdot 18 = 12$ cm.

    Vezi lecția