Exerciții de matematică cu răspunsuri

Clasa a VII-aMediu

CerculPoligoane regulate înscrise. Lungimea cercului și aria discului

Un poligon regulat are unghiul la centru de $18°$ Câte laturi are și cât este unghiul lui interior?

Arată răspunsul

Răspuns: $20$ de laturi; unghiul interior este $162°$

Arată rezolvarea

$n = 360° : 18° = 20$ iar unghiul interior este $180° - 18° = 162°$

Vezi lecția

Clasa a VII-aMediu

CerculPoligoane regulate înscrise. Lungimea cercului și aria discului

Poate exista un poligon regulat cu unghiul interior de $100°$ Justifică.

Arată răspunsul

Răspuns: Nu.

Arată rezolvarea

Unghiul exterior ar fi $80°$ iar $n = 360° : 80° = 4{,}5$ care nu este număr natural.

Vezi lecția

Clasa a VII-aMediu

CerculPoligoane regulate înscrise. Lungimea cercului și aria discului

Descrie, în pași, cum construiești un hexagon regulat înscris într-un cerc cu raza de $4\text{ cm}$ folosind compasul. Cât este latura hexagonului?

Arată răspunsul

Răspuns: Compasul se deschide la $4\text{ cm}$ din $A$ se marchează pe cerc, din aproape în aproape, $B, C, D, E, F$ apoi se unesc consecutiv. Latura este $4\text{ cm}$

Arată rezolvarea

Deschiderea compasului egală cu raza dă laturi egale cu raza, deoarece $\ell_6 = R$

Vezi lecția

Clasa a VII-aMediu

CerculPoligoane regulate înscrise. Lungimea cercului și aria discului

Descrie cum obții un triunghi echilateral înscris într-un cerc cu raza de $6\text{ cm}$ pornind de la hexagonul regulat. Cât este latura triunghiului?

Arată răspunsul

Răspuns: Se construiește hexagonul $ABCDEF$ și se unesc vârfurile $A$ $C$ $E$ Latura triunghiului este $6\sqrt{3}\text{ cm}$

Arată rezolvarea

Vârfurile luate din două în două subîntind unghiuri la centru de $120°$ deci $\ell_3 = R\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\text{ cm}$

Vezi lecția

Clasa a VII-aMediu

CerculPoligoane regulate înscrise. Lungimea cercului și aria discului

Un pătrat este înscris într-un cerc construit cu două diametre perpendiculare, de lungime $12\text{ cm}$ fiecare. Cât este latura pătratului, în formă exactă?

Arată răspunsul

Răspuns: $6\sqrt{2}\text{ cm}$

Arată rezolvarea

$R = 12 : 2 = 6\text{ cm}$ deci $\ell_4 = R\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\text{ cm}$

Vezi lecția

Clasa a VII-aProvocare

CerculPoligoane regulate înscrise. Lungimea cercului și aria discului

Un hexagon regulat înscris are perimetrul $42\text{ cm}$ Află lungimea cercului circumscris, în formă exactă.

Arată răspunsul

Răspuns: $14\pi\text{ cm}$

Arată rezolvarea

$\ell_6 = R = 42 : 6 = 7\text{ cm}$ deci $L = 2\pi \cdot 7 = 14\pi\text{ cm}$

Vezi lecția

Clasa a VII-aProvocare

CerculPoligoane regulate înscrise. Lungimea cercului și aria discului

Aria unui disc este egală numeric cu lungimea cercului (adică $\pi R^2 = 2\pi R$ ca numere, fără unități). Află raza.

Arată răspunsul

Răspuns: $R = 2$

Arată rezolvarea

$\pi R^2 = 2\pi R \Rightarrow R^2 = 2R \Rightarrow R(R-2) = 0$ iar $R \ne 0$ deci $R = 2$

Vezi lecția

Clasa a VII-aProvocare

CerculPoligoane regulate înscrise. Lungimea cercului și aria discului

Un triunghi echilateral și un hexagon regulat sunt înscrise în același cerc de rază $R = 6\text{ cm}$ Cu cât este mai mare perimetrul hexagonului decât cel al triunghiului?

Arată răspunsul

Răspuns: Cu $36 - 18\sqrt{3} \approx 4{,}8\text{ cm}$

Arată rezolvarea

$P_6 = 6 \cdot 6 = 36\text{ cm}$ $P_3 = 3 \cdot 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3} \approx 31{,}2\text{ cm}$ diferența $\approx 4{,}8\text{ cm}$

Vezi lecția

Clasa a VII-aProvocare

CerculPoligoane regulate înscrise. Lungimea cercului și aria discului

Un pătrat este înscris într-un cerc, iar diagonala pătratului este $10\text{ cm}$ Află perimetrul pătratului, în formă exactă.

Arată răspunsul

Răspuns: $20\sqrt{2}\text{ cm}$

Arată rezolvarea

Diagonala este diametrul, $d = 10\text{ cm}$ deci $R = 5\text{ cm}$ și $\ell_4 = 5\sqrt{2}\text{ cm}$ $P_4 = 4 \cdot 5\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\text{ cm}$

Vezi lecția

Clasa a VII-aProvocare

CerculPoligoane regulate înscrise. Lungimea cercului și aria discului

Un sector de disc cu unghiul la centru $n°$ are aria egală cu un sfert din aria discului. Care este $n°$ Dacă $R = 10\text{ cm}$ care este aria sectorului, în formă exactă?

Arată răspunsul

Răspuns: $n° = 90°$ aria sectorului $25\pi\text{ cm}^2$

Arată rezolvarea

$\dfrac{n°}{360°} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow n° = 90°$ $A_{\text{sector}} = \dfrac{1}{4} \cdot \pi \cdot 100 = 25\pi\text{ cm}^2$

Vezi lecția

Clasa a VII-aProvocare

CerculPoligoane regulate înscrise. Lungimea cercului și aria discului

Raza unui cerc se dublează. De câte ori se mărește lungimea cercului? Dar aria discului?

Arată răspunsul

Răspuns: Lungimea se dublează; aria se înmulțește cu $4$

Arată rezolvarea

$L = 2\pi R$ dublând $R$ $L$ se dublează (proporțională cu $R$ $A = \pi R^2$ dublând $R$ $A$ se înmulțește cu $2^2 = 4$ (proporțională cu $R^2$

Vezi lecția

Clasa a VII-aProvocare

CerculPoligoane regulate înscrise. Lungimea cercului și aria discului

Într-un poligon regulat, unghiul interior este de $4$ ori mai mare decât unghiul la centru. Află numărul de laturi.

Arată răspunsul

Răspuns: $n = 10$

Arată rezolvarea

Cu $x$ = unghiul la centru, unghiul interior este $180° - x$ Din $180° - x = 4x$ obții $x = 36°$ deci $n = 360° : 36° = 10$

Vezi lecția

Clasa a VII-aProvocare

CerculPoligoane regulate înscrise. Lungimea cercului și aria discului

Într-un poligon regulat $A_1A_2\ldots A_n$ înscris în cercul de centru $O$ unghiul interior este cu $140°$ mai mare decât unghiul exterior. Află $n$ și $\angle OA_1A_2$

Arată răspunsul

Răspuns: $n = 18$ $\angle OA_1A_2 = 80°$

Arată rezolvarea

Cu $x$ = unghiul exterior, $180° - x = x + 140°$ deci $x = 20°$ și $n = 360° : 20° = 18$ Unghiul interior este $160°$ iar $OA_1$ îl împarte în două unghiuri egale: $\angle OA_1A_2 = 160° : 2 = 80°$

Vezi lecția

Clasa a VII-aUșor

Segmente proporționale și teorema lui ThalesSegmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

$AB = 12$ cm, $CD = 4$ cm. Calculează $\dfrac{AB}{CD}$

Arată răspunsul

Răspuns: $3$

Vezi lecția

Clasa a VII-aUșor

Segmente proporționale și teorema lui ThalesSegmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

$MN = 20$ cm, $PQ = 8$ cm. Calculează $\dfrac{MN}{PQ}$ sub formă de fracție ireductibilă.

Arată răspunsul

Răspuns: $\dfrac{5}{2}$

Vezi lecția

Clasa a VII-aUșor

Segmente proporționale și teorema lui ThalesSegmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

$AB = 1$ m, $CD = 40$ cm. Calculează $\dfrac{AB}{CD}$

Arată răspunsul

Răspuns: $\dfrac{5}{2}$

Arată rezolvarea

$AB = 100$ cm, deci $\dfrac{100}{40} = \dfrac{5}{2}$

Vezi lecția

Clasa a VII-aUșor

Segmente proporționale și teorema lui ThalesSegmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

Ce înseamnă că segmentele $AB$ $CD$ $MN$ $PQ$ în această ordine, sunt proporționale?

Arată răspunsul

Răspuns: $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{MN}{PQ}$

Vezi lecția

Clasa a VII-aUșor

Segmente proporționale și teorema lui ThalesSegmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

În proporția $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{MN}{PQ}$ care segmente sunt extremii și care sunt mezii?

Arată răspunsul

Răspuns: Extremii sunt $AB$ și $PQ$ mezii sunt $CD$ și $MN$

Vezi lecția

Clasa a VII-aUșor

Segmente proporționale și teorema lui ThalesSegmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

Enunță teorema paralelelor echidistante.

Arată răspunsul

Răspuns: Dacă drepte paralele taie segmente egale pe o secantă, atunci taie segmente egale pe orice altă secantă.

Vezi lecția

Clasa a VII-aUșor

Segmente proporționale și teorema lui ThalesSegmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

Trei drepte paralele echidistante taie pe o secantă segmentele $AB = BC = 5$ cm. Pe altă secantă, $A_1B_1 = 6$ cm. Cât este $B_1C_1$

Arată răspunsul

Răspuns: $6$ cm.

Vezi lecția