Probleme rezolvate

Probleme de matematică rezolvate

Exemple rezolvate pas cu pas, organizate după clasă și capitol. Citește enunțul, încearcă să rezolvi singur, apoi deschide rezolvarea.

1415 probleme · pagina 13 din 71

Clasa a V-a
Noțiuni geometrice de bazăPunct, dreaptă, plan, semidreaptă, segment
Trei obiecte pe aceeași figură
Identifică pe figură o dreaptă, o semidreaptă și un segment și scrie notațiile.
Arată rezolvarea
Recunoaște fiecare obiect după capete și săgeți.
- Linia prin $A$ și $B$ are două săgeți: dreapta $AB$
- Linia care pornește din $C$ și are săgeată după $D$ semidreapta $[CD$
- Linia dintre $E$ și $F$ fără săgeți: segmentul $[EF]$
Vezi lecția
Clasa a V-a
Noțiuni geometrice de bazăPunct, dreaptă, plan, semidreaptă, segment
Segmente pe o dreaptă
Punctele $A$ $B$ $C$ sunt pe dreapta $d$ în această ordine. Scrie toate segmentele care au capetele printre aceste puncte.
Arată rezolvarea
Punctele $A$ $B$ $C$ sunt pe dreapta $d$ în această ordine.
Luăm câte două puncte: $A$ și $B$ $A$ și $C$ $B$ și $C$ Segmentele sunt $[AB]$ $[AC]$ $[BC]$ adică 3 segmente.
$[BA]$ este același segment cu $[AB]$ deci nu îl numărăm din nou.
Vezi lecția
Clasa a V-a
Noțiuni geometrice de bazăPunct, dreaptă, plan, semidreaptă, segment
Drepte prin trei puncte
Punctele $A$ $B$ $C$ nu sunt pe aceeași dreaptă. Câte drepte trec prin câte două dintre ele?
Arată rezolvarea
Prin fiecare două dintre punctele $A$ $B$ $C$ trece câte o dreaptă: $AB$ $BC$ $CA$
Prin două puncte distincte trece o singură dreaptă. Perechile sunt $A$ și $B$ $B$ și $C$ $C$ și $A$ deci sunt 3 drepte: $AB$ $BC$ $CA$
Vezi lecția
Clasa a V-a
Noțiuni geometrice de bazăPunct, dreaptă, plan, semidreaptă, segment
Punct pe segment sau doar pe dreaptă
Pe dreapta $d$ sunt punctele $A$ $M$ $B$ $N$ în această ordine. Care dintre $M$ și $N$ este pe segmentul $[AB]$
Arată rezolvarea
$M$ este pe segmentul $[AB]$ $N$ este pe dreaptă, dar nu pe segment.
Segmentul $[AB]$ conține doar punctele dintre $A$ și $B$ (și capetele). $M$ este între $A$ și $B$ deci este pe segment. $N$ este după $B$ este pe dreaptă, dar nu pe segment.
Vezi lecția
Clasa a V-a
Noțiuni geometrice de bazăPunct, dreaptă, plan, semidreaptă, segment
Obiecte din realitate
Ce obiect geometric îți sugerează fiecare: vârful acului, marginea mesei, raza unei lanterne, suprafața tablei?
Arată rezolvarea
- Vârful acului: un punct (arată doar o poziție).
- Marginea mesei: un segment (are două capete).
- Raza lanternei: o semidreaptă (pornește dintr-un loc și merge într-un singur sens).
- Suprafața tablei: o bucată de plan (planul însuși este nelimitat).
Vezi lecția
Clasa a V-a
Noțiuni geometrice de bazăPoziții relative. Puncte coliniare. Drepte paralele și concurente
Aparține sau nu?
Scrie cu simbolurile $\in$ și $\notin$ poziția punctelor $A$ și $B$ față de dreapta $d$
Arată rezolvarea
$A \in d$ (A este pe dreaptă), $B \notin d$ (B nu este pe dreaptă).
$A$ este pe dreaptă: $A \in d$ $B$ este deasupra dreptei: $B \notin d$
Vezi lecția
Clasa a V-a
Noțiuni geometrice de bazăPoziții relative. Puncte coliniare. Drepte paralele și concurente
Puncte pe o dreaptă oblică
Care dintre punctele $M$ $N$ $P$ $R$ aparțin dreptei $e$
Arată rezolvarea
Care puncte aparțin dreptei $e$
$M \in e$ și $N \in e$ (sunt chiar pe linie). $P \notin e$ (sub dreaptă) și $R \notin e$ (deasupra dreptei).
Vezi lecția
Clasa a V-a
Noțiuni geometrice de bazăPoziții relative. Puncte coliniare. Drepte paralele și concurente
Coliniare
Sunt punctele $A$ $B$ $C$ coliniare?
Arată rezolvarea
$A$ $B$ $C$ sunt coliniare: toate sunt pe dreapta $d$
Da. Toate trei sunt pe dreapta $d$ deci există o dreaptă care trece prin toate.
Vezi lecția
Clasa a V-a
Noțiuni geometrice de bazăPoziții relative. Puncte coliniare. Drepte paralele și concurente
Necoliniare
Sunt punctele $A$ $B$ $C$ coliniare?
Arată rezolvarea
$A$ $B$ $C$ nu sunt coliniare: $C \notin AB$
Singura dreaptă prin $A$ și $B$ este $d$ Punctul $C$ nu este pe $d$ deci nu există o dreaptă prin toate trei: punctele sunt necoliniare.
Vezi lecția
Clasa a V-a
Noțiuni geometrice de bazăPoziții relative. Puncte coliniare. Drepte paralele și concurente
Verificarea cu rigla
Punctele $X$ $Y$ $Z$ par pe aceeași linie. Cum verifici?
Arată rezolvarea
Sunt $X$ $Y$ $Z$ coliniare?
Pui rigla pe $X$ și $Z$ și tragi dreapta $XZ$ Ea trece exact prin $Y$
Rigla pusă pe $X$ și $Z$ trece și prin $Y$ punctele sunt coliniare.
Deci $X$ $Y$ $Z$ sunt coliniare.
Vezi lecția
Clasa a V-a
Noțiuni geometrice de bazăPoziții relative. Puncte coliniare. Drepte paralele și concurente
Două triplete coliniare
Găsește toate grupurile de câte trei puncte coliniare din figură.
Arată rezolvarea
Găsește tripletele de puncte coliniare.
Tragem dreapta prin $A$ și $C$ trece prin $B$ Tragem dreapta prin $D$ și $E$ trece tot prin $B$
$A$ $B$ $C$ sunt coliniare; $D$ $B$ $E$ sunt coliniare.
Grupurile coliniare sunt $A$ $B$ $C$ și $D$ $B$ $E$ Oricare alt grup de trei puncte este necoliniar.
Vezi lecția
Clasa a V-a
Noțiuni geometrice de bazăPoziții relative. Puncte coliniare. Drepte paralele și concurente
Drepte concurente
Ce poziție au dreptele $a$ și $b$ Care este punctul lor comun?
Arată rezolvarea
Dreptele $a$ și $b$ sunt concurente: au un singur punct comun, $O$
Se intersectează în $O$ deci sunt concurente. $O \in a$ și $O \in b$
Vezi lecția
Clasa a V-a
Noțiuni geometrice de bazăPoziții relative. Puncte coliniare. Drepte paralele și concurente
Drepte paralele oblice
Dreptele $m$ și $n$ sunt oblice. Pot fi paralele?
Arată rezolvarea
$m \parallel n$ Paralele nu înseamnă orizontale.
Da. Sunt înclinate la fel și păstrează aceeași depărtare, deci nu se întâlnesc niciodată: $m \parallel n$ Paralelismul nu depinde de faptul că dreptele sunt orizontale.
Vezi lecția
Clasa a V-a
Noțiuni geometrice de bazăPoziții relative. Puncte coliniare. Drepte paralele și concurente
Trei drepte, două câte două
Stabilește poziția dreptelor $a$ $b$ $c$ luate două câte două.
Arată rezolvarea
Ce poziție au, două câte două, dreptele $a$ $b$ $c$
- $a$ și $b$ nu se întâlnesc, $a \parallel b$
- $a$ și $c$ concurente în $M$
- $b$ și $c$ concurente în $N$
Cele trei drepte nu sunt concurente toate: nu există un punct prin care să treacă toate trei.
Vezi lecția
Clasa a V-a
Noțiuni geometrice de bazăPoziții relative. Puncte coliniare. Drepte paralele și concurente
Trei drepte concurente
Sunt dreptele $a$ $b$ $c$ concurente?
Arată rezolvarea
Dreptele $a$ $b$ $c$ sunt concurente în $O$ toate trec prin același punct.
Da. Toate trei trec prin același punct, $O$
Vezi lecția
Clasa a V-a
Noțiuni geometrice de bazăPoziții relative. Puncte coliniare. Drepte paralele și concurente
Nu se întâlnesc pe desen
Dreptele $p$ și $q$ nu se întâlnesc pe desen. Sunt paralele?
Arată rezolvarea
Pe bucata desenată, $p$ și $q$ nu se întâlnesc.
Nu putem spune doar din desen. Observăm că se apropie una de alta spre dreapta, deci nu păstrează aceeași depărtare. Prelungite, se întâlnesc.
Prelungite, $p$ și $q$ se intersectează în $T$ sunt concurente, nu paralele.
Sunt concurente în $T$ nu paralele.
Vezi lecția
Clasa a V-a
Noțiuni geometrice de bazăPoziții relative. Puncte coliniare. Drepte paralele și concurente
Contraexemplu: afirmație greșită
Maria spune că $A$ $B$ $C$ sunt coliniare. Are dreptate?
Arată rezolvarea
Dreapta punctată trece prin $A$ și $B$ Trece și prin $C$
Nu. Dreapta prin $A$ și $B$ trece pe sub $C$ Punctul $C$ nu aparține dreptei $AB$ deci punctele nu sunt coliniare.
Vezi lecția
Clasa a V-a
Noțiuni geometrice de bazăPoziții relative. Puncte coliniare. Drepte paralele și concurente
Patru puncte coliniare
Punctele $A$ $B$ $C$ $D$ sunt pe dreapta $d$ iar $E \notin d$ Scrie trei puncte coliniare și trei puncte necoliniare.
Arată rezolvarea
Patru puncte pe $d$ și punctul $E \notin d$
Coliniare: de exemplu $A$ $B$ $C$ (toate pe $d$ Necoliniare: de exemplu $A$ $B$ $E$ pentru că $E$ nu este pe dreapta $AB$ adică pe $d$
Vezi lecția
Clasa a V-a
Noțiuni geometrice de bazăLungimea segmentului. Segmente congruente. Mijloc. Simetricul unui punct față de un punct
Citește lungimea pe riglă
Ce lungime are segmentul $[AB]$ măsurat mai jos?
Arată rezolvarea
Capătul $A$ este în dreptul lui $0$ capătul $B$ în dreptul lui $5$ $AB = 5$ cm.
$A$ este în dreptul lui $0$ $B$ în dreptul lui $5$ Deci $AB = 5$ cm.
Vezi lecția
Clasa a V-a
Noțiuni geometrice de bazăLungimea segmentului. Segmente congruente. Mijloc. Simetricul unui punct față de un punct
Jumătăți de centimetru
Ce lungime are segmentul $[AB]$
Arată rezolvarea
$B$ este la jumătatea dintre $3$ și $4$ $AB = 3{,}5$ cm.
$B$ este la liniuța scurtă dintre $3$ și $4$ adică la jumătate. $AB = 3{,}5$ cm, adică $35$ mm.
Vezi lecția

Probleme de matematică rezolvate

Trei obiecte pe aceeași figură

Segmente pe o dreaptă

Drepte prin trei puncte

Punct pe segment sau doar pe dreaptă

Obiecte din realitate

Aparține sau nu?

Puncte pe o dreaptă oblică

Coliniare

Necoliniare

Verificarea cu rigla

Două triplete coliniare

Drepte concurente

Drepte paralele oblice

Trei drepte, două câte două

Trei drepte concurente

Nu se întâlnesc pe desen

Contraexemplu: afirmație greșită

Patru puncte coliniare

Citește lungimea pe riglă

Jumătăți de centimetru