Exerciții de matematică cu răspunsuri

2589 exerciții · pagina 82 din 130

1. Clasa a VII-aMediu

   Patrulatere›Patrulaterul convex. Paralelogramul. Linia mijlocie în triunghi

   În paralelogramul $ABCD$, $m(\angle B) = 3x$ și $m(\angle C) = 2x$. Sunt $\angle B$ și $\angle C$ alăturate sau opuse? Calculează $x$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: Alăturate; $x = 36°$.

   Arată rezolvarea

   $\angle B$ și $\angle C$ sunt alăturate (vecine, cu latura $BC$ comună), deci suplementare: $3x + 2x = 180°$, $5x = 180°$, $x = 36°$.

   Vezi lecția
2. Clasa a VII-aMediu

   Patrulatere›Patrulaterul convex. Paralelogramul. Linia mijlocie în triunghi

   În paralelogramul $ABCD$, diagonalele se intersectează în $O$, iar $OA = 4{,}5$ cm. Calculează $AC$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $AC = 9$ cm.

   Vezi lecția
3. Clasa a VII-aMediu

   Patrulatere›Patrulaterul convex. Paralelogramul. Linia mijlocie în triunghi

   În paralelogramul $ABCD$, diagonalele se intersectează în $O$, cu $OA = 2x + 1$ și $OC = 3x - 2$ (cm). Calculează $x$ și $AC$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $x = 3$, $AC = 14$ cm.

   Arată rezolvarea

   $2x + 1 = 3x - 2 \Rightarrow x = 3$; $OA = 7$ cm, $AC = 14$ cm.

   Vezi lecția
4. Clasa a VII-aMediu

   Patrulatere›Patrulaterul convex. Paralelogramul. Linia mijlocie în triunghi

   Un paralelogram are laturile alăturate $7$ cm și $4{,}3$ cm. Calculează perimetrul.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $22{,}6$ cm.

   Arată rezolvarea

   $P = 2 \cdot (7 + 4{,}3) = 22{,}6$ cm.

   Vezi lecția
5. Clasa a VII-aMediu

   Patrulatere›Patrulaterul convex. Paralelogramul. Linia mijlocie în triunghi

   Într-un paralelogram, $AB=x+2$ cm, $BC=3x$ cm, iar perimetrul este $44$ cm. Calculează $x$, $AB$ și $BC$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $x=5$, $AB=7$ cm, $BC=15$ cm.

   Arată rezolvarea

   $2[(x+2)+3x]=44 \Rightarrow 4x+2=22 \Rightarrow x=5$.

   Vezi lecția
6. Clasa a VII-aMediu

   Patrulatere›Patrulaterul convex. Paralelogramul. Linia mijlocie în triunghi

   Un triunghi are $BC = 20$ cm. $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $AB$ și $AC$. Calculează $MN$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $MN = 10$ cm.

   Vezi lecția
7. Clasa a VII-aMediu

   Patrulatere›Patrulaterul convex. Paralelogramul. Linia mijlocie în triunghi

   Linia mijlocie a unui triunghi are $6{,}4$ cm. Calculează lungimea laturii cu care este paralelă.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $12{,}8$ cm.

   Vezi lecția
8. Clasa a VII-aMediu

   Patrulatere›Patrulaterul convex. Paralelogramul. Linia mijlocie în triunghi

   Adevărat sau fals: „Într-un paralelogram, unghiurile opuse sunt suplementare.”

   Arată răspunsul

   Răspuns: Fals.

   Arată rezolvarea

   Unghiurile opuse sunt congruente, nu suplementare; suplementare sunt unghiurile alăturate.

   Vezi lecția
9. Clasa a VII-aMediu

   Patrulatere›Patrulaterul convex. Paralelogramul. Linia mijlocie în triunghi

   Un patrulater $ABCD$ are $AB \parallel CD$ și $AD \parallel BC$. Este $ABCD$ paralelogram? Justifică.

   Arată răspunsul

   Răspuns: Da.

   Arată rezolvarea

   Are ambele perechi de laturi opuse paralele, exact definiția paralelogramului.

   Vezi lecția
10. Clasa a VII-aMediu

    Patrulatere›Patrulaterul convex. Paralelogramul. Linia mijlocie în triunghi

    Patrulaterul $ABCD$ are diagonalele care se înjumătățesc. Este $ABCD$ paralelogram? Justifică pe scurt.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Da.

    Arată rezolvarea

    Diagonalele care se înjumătățesc formează un criteriu suficient de recunoaștere a paralelogramului.

    Vezi lecția
11. Clasa a VII-aProvocare

    Patrulatere›Patrulaterul convex. Paralelogramul. Linia mijlocie în triunghi

    În paralelogramul $ABCD$, $m(\angle A)=3x+5°$ și $m(\angle B)=2x+25°$. Calculează $x$ și toate unghiurile.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $x=30$; $\angle A=\angle C=95°$, $\angle B=\angle D=85°$.

    Arată rezolvarea

    $(3x+5°)+(2x+25°)=180° \Rightarrow 5x+30°=180° \Rightarrow x=30$.

    Vezi lecția
12. Clasa a VII-aProvocare

    Patrulatere›Patrulaterul convex. Paralelogramul. Linia mijlocie în triunghi

    Într-un paralelogram, suma diagonalelor este $34$ cm, iar diferența lor este $6$ cm. Calculează lungimile diagonalelor și distanțele de la punctul de intersecție la câte un capăt al fiecăreia.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $AC = 20$ cm, $BD = 14$ cm; $OA = OC = 10$ cm, $OB = OD = 7$ cm.

    Arată rezolvarea

    Din $AC + BD = 34$ și $AC - BD = 6$ rezultă $AC = 20$, $BD = 14$; $O$ este mijlocul fiecărei diagonale.

    Vezi lecția
13. Clasa a VII-aProvocare

    Patrulatere›Patrulaterul convex. Paralelogramul. Linia mijlocie în triunghi

    În paralelogramul $ABCD$, bisectoarea unghiului $A$ intersectează latura $BC$ în $E$. Arată că $BE \equiv AB$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Triunghiul $ABE$ este isoscel, cu $BE \equiv AB$.

    Arată rezolvarea

    Din $AE$ bisectoare, $\angle BAE \equiv \angle EAD$. Din $AD \parallel BC$, cu secanta $AE$, unghiurile alterne interne $\angle EAD$ și $\angle AEB$ sunt congruente. Rezultă $\angle BAE \equiv \angle AEB$, deci triunghiul $ABE$ este isoscel cu baza $AE$, adică $BE \equiv AB$.

    Vezi lecția
14. Clasa a VII-aProvocare

    Patrulatere›Patrulaterul convex. Paralelogramul. Linia mijlocie în triunghi

    Un triunghi are laturile $11$ cm, $13$ cm și $16$ cm. Calculează perimetrul triunghiului format de mijloacele laturilor lui.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $20$ cm.

    Arată rezolvarea

    Perimetrul triunghiului median este jumătate din perimetrul triunghiului inițial: $\dfrac{11+13+16}{2} = 20$ cm.

    Vezi lecția
15. Clasa a VII-aProvocare

    Patrulatere›Patrulaterul convex. Paralelogramul. Linia mijlocie în triunghi

    Mediana dintr-un vârf al unui triunghi are $15$ cm. Calculează distanțele de la vârf la centrul de greutate și de la centrul de greutate la mijlocul laturii opuse.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $AG = 10$ cm, $GM_a = 5$ cm.

    Arată rezolvarea

    $AG:GM_a = 2:1$ și $AG + GM_a = 15$, deci $AG = 10$ cm, $GM_a = 5$ cm.

    Vezi lecția
16. Clasa a VII-aProvocare

    Patrulatere›Patrulaterul convex. Paralelogramul. Linia mijlocie în triunghi

    Distanța de la un vârf al unui triunghi la centrul de greutate este $14$ cm. Calculează lungimea întreagă a medianei și distanța de la centrul de greutate la mijlocul laturii opuse.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Mediana are $21$ cm, iar $GM_a = 7$ cm.

    Arată rezolvarea

    $AG$ reprezintă $\dfrac{2}{3}$ din mediană: mediana $= \dfrac{3}{2} \cdot 14 = 21$ cm, iar $GM_a = 21 - 14 = 7$ cm.

    Vezi lecția
17. Clasa a VII-aProvocare

    Patrulatere›Patrulaterul convex. Paralelogramul. Linia mijlocie în triunghi

    Adevărat sau fals, cu justificare: „Centrul de greutate al unui triunghi se află întotdeauna în interiorul triunghiului.”

    Arată răspunsul

    Răspuns: Adevărat.

    Arată rezolvarea

    Centrul de greutate este intersecția celor trei mediane, segmente interioare triunghiului, deci se află mereu în interior, indiferent de forma triunghiului.

    Vezi lecția
18. Clasa a VII-aProvocare

    Patrulatere›Patrulaterul convex. Paralelogramul. Linia mijlocie în triunghi

    Un paralelogram are un unghi drept ($90°$). Ce poți spune despre celelalte trei unghiuri? Justifică folosind proprietățile unghiurilor paralelogramului.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Toate cele trei unghiuri sunt tot de $90°$.

    Arată rezolvarea

    Unghiul opus celui drept este congruent cu el, deci tot $90°$. Fiecare dintre celelalte două este alăturat unui unghi de $90°$, deci suplementar cu $90°$, adică tot $90°$.

    Vezi lecția
19. Clasa a VII-aProvocare

    Patrulatere›Patrulaterul convex. Paralelogramul. Linia mijlocie în triunghi

    Într-un triunghi $ABC$, punctele $M$, $N$, $P$ sunt mijloacele laturilor $AB$, $AC$, respectiv $BC$. Arată că $AMPN$ este paralelogram.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $AMPN$ este paralelogram.

    Arată rezolvarea

    $MP$ este linie mijlocie în triunghiul $ABC$ (mijloacele laturilor $AB$ și $BC$), deci $MP \parallel AC$, adică $MP \parallel AN$. $NP$ este linie mijlocie (mijloacele laturilor $AC$ și $BC$), deci $NP \parallel AB$, adică $NP \parallel AM$. Ambele perechi de laturi opuse ale patrulaterului $AMPN$ sunt paralele, deci este paralelogram.

    Vezi lecția
20. Clasa a VII-aUșor

    Patrulatere›Paralelograme particulare: dreptunghi, romb, pătrat

    Definește dreptunghiul.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Paralelogramul cu un unghi drept.

    Vezi lecția