Exerciții de matematică cu răspunsuri

2589 exerciții · pagina 68 din 130

1. Clasa a VI-aProvocare

   Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Triunghiul isoscel și triunghiul echilateral

   În $\triangle ABC$, $AD$ ($D$ pe $BC$) este bisectoare și mediană. De ce nu ajunge LUL pentru $\triangle ABD$ și $\triangle ACD$? Ce construcție folosești?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Unghiul din $A$ nu este cuprins între $AD$ și $BD$ (laturile egale), deci datele nu formează LUL. Se prelungește $AD$ cu $DE = AD$: $\triangle ABD \equiv \triangle ECD$ (LUL), apoi $\triangle ACE$ are două unghiuri egale, deci $CA = CE = AB$.

   Vezi lecția
2. Clasa a VI-aUșor

   Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Proprietățile triunghiului dreptunghic

   În $\triangle ABC$ dreptunghic în $A$, scrie catetele și ipotenuza.

   Arată răspunsul

   Răspuns: catetele $AB$ și $AC$; ipotenuza $BC$

   Vezi lecția
3. Clasa a VI-aUșor

   Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Proprietățile triunghiului dreptunghic

   În figură, $\angle B = 90°$ și $\angle A = 30°$. Care este ipotenuza? Care catetă este jumătate din ipotenuză?

   Arată răspunsul

   Răspuns: ipotenuza $AC$; cateta $BC$

   Arată rezolvarea

   Unghiul drept este în $B$, deci ipotenuza este $AC$. Cateta opusă unghiului de $30°$ din $A$ este cea care nu trece prin $A$: $BC$.

   Vezi lecția
4. Clasa a VI-aUșor

   Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Proprietățile triunghiului dreptunghic

   $\angle A = 90°$ și $\angle B = 30°$. Cât măsoară $\angle C$?

   Arată răspunsul

   Răspuns: $60°$.

   Vezi lecția
5. Clasa a VI-aUșor

   Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Proprietățile triunghiului dreptunghic

   Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit măsoară $30°$. Cât măsoară celălalt unghi ascuțit?

   Arată răspunsul

   Răspuns: $60°$.

   Vezi lecția
6. Clasa a VI-aUșor

   Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Proprietățile triunghiului dreptunghic

   Un triunghi dreptunghic are ipotenuza de $18\text{ cm}$ și un unghi de $30°$. Cât are cateta opusă acestui unghi?

   Arată răspunsul

   Răspuns: $9\text{ cm}$

   Vezi lecția
7. Clasa a VI-aUșor

   Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Proprietățile triunghiului dreptunghic

   În $\triangle ABC$ dreptunghic în $A$, $M$ este mijlocul ipotenuzei și $BC = 15\text{ cm}$. Află $AM$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $7{,}5\text{ cm}$

   Arată rezolvarea

   Mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză: $AM = 15 : 2 = 7{,}5\text{ cm}$.

   Vezi lecția
8. Clasa a VI-aUșor

   Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Proprietățile triunghiului dreptunghic

   În $\triangle PQR$ dreptunghic în $P$, $S$ este mijlocul ipotenuzei $QR$ și $PS = 6{,}5\text{ cm}$. Află $SR$ și $QR$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $SR = 6{,}5\text{ cm}$; $QR = 13\text{ cm}$

   Arată rezolvarea

   Mijlocul ipotenuzei este egal depărtat de cele trei vârfuri: $SR = SQ = SP = 6{,}5\text{ cm}$, deci $QR = 2 \cdot 6{,}5 = 13\text{ cm}$.

   Vezi lecția
9. Clasa a VI-aUșor

   Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Proprietățile triunghiului dreptunghic

   În $\triangle DEF$ din figură, $\angle E = 90°$, $\angle F = 30°$ și $DF = 9\text{ cm}$. Care catetă are $4{,}5\text{ cm}$?

   Arată răspunsul

   Răspuns: $DE$

   Arată rezolvarea

   Unghiul de $30°$ este în $F$. Cateta opusă lui este cea care nu trece prin $F$: $DE = 9 : 2 = 4{,}5\text{ cm}$.

   Vezi lecția
10. Clasa a VI-aMediu

    Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Proprietățile triunghiului dreptunghic

    În $\triangle ABC$ dreptunghic în $A$, $AC = 6\text{ cm}$ și $BC = 12\text{ cm}$. Calculează raportul $\dfrac{AC}{BC}$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $\dfrac{1}{2}$.

    Arată rezolvarea

    $\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{6}{12}=\dfrac12$.

    Vezi lecția
11. Clasa a VI-aMediu

    Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Proprietățile triunghiului dreptunghic

    $\angle A = 90°$, $AB = 5\text{ cm}$, $BC = 10\text{ cm}$. Care unghi are $30°$?

    Arată răspunsul

    Răspuns: $\angle C$

    Arată rezolvarea

    $AB$ este opusă lui $\angle C$.

    Vezi lecția
12. Clasa a VI-aMediu

    Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Proprietățile triunghiului dreptunghic

    $N$ este mijlocul lui $AC$ și $NA = NB = NC = 4\text{ cm}$. Află $\angle ABC$ și lungimea lui $AC$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $\angle ABC = 90°$; $AC = 8\text{ cm}$

    Arată rezolvarea

    Mediana $BN$ este jumătate din latura $AC$ ($AC = 2 \cdot 4 = 8\text{ cm}$), deci triunghiul este dreptunghic în $B$, vârful din care pleacă mediana (reciproca).

    Vezi lecția
13. Clasa a VI-aMediu

    Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Proprietățile triunghiului dreptunghic

    În $\triangle ABC$, $M$ este mijlocul lui $BC$, $BC = 12\text{ cm}$ și $AM = 6\text{ cm}$. Este triunghiul dreptunghic? În ce vârf?

    Arată răspunsul

    Răspuns: da, în $A$

    Vezi lecția
14. Clasa a VI-aMediu

    Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Proprietățile triunghiului dreptunghic

    În $\triangle ABC$, $M$ este mijlocul lui $BC$, $BC = 12\text{ cm}$ și $AM = 7\text{ cm}$. Poate $\angle A$ să fie drept?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Nu: dacă ar fi drept, mediana ar avea exact $6\text{ cm}$.

    Vezi lecția
15. Clasa a VI-aMediu

    Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Proprietățile triunghiului dreptunghic

    Triunghiul $PQR$ din figură este dreptunghic în $P$, iar $QR = 9\text{ cm}$. Unde se află centrul cercului circumscris? Cât este raza lui?

    Arată răspunsul

    Răspuns: la mijlocul ipotenuzei $QR$; raza $4{,}5\text{ cm}$

    Arată rezolvarea

    Mijlocul ipotenuzei este egal depărtat de $P$, $Q$ și $R$ (mediana ipotenuzei este jumătate din ea), deci este centrul cercului circumscris. Raza este $9 : 2 = 4{,}5\text{ cm}$.

    Vezi lecția
16. Clasa a VI-aMediu

    Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Proprietățile triunghiului dreptunghic

    $\angle A = 90°$, $\angle C = 60°$, $BC = 20\text{ cm}$. Află $AC$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $10\text{ cm}$

    Arată rezolvarea

    $\angle B = 30°$, iar $AC$ este opusă lui $\angle B$.

    Vezi lecția
17. Clasa a VI-aMediu

    Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Proprietățile triunghiului dreptunghic

    Scrie reciproca: „Într-un triunghi dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză.”

    Arată răspunsul

    Răspuns: Dacă într-un triunghi mediana corespunzătoare unei laturi este jumătate din acea latură, atunci triunghiul este dreptunghic (unghiul drept este opus acelei laturi).

    Vezi lecția
18. Clasa a VI-aMediu

    Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Proprietățile triunghiului dreptunghic

    În figură, $\angle A = 90°$, $AB = 4\text{ cm}$ și $BC = 8\text{ cm}$. Radu spune: „$AB$ este jumătate din ipotenuză, deci $\angle B = 30°$.” Are dreptate?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Nu: $AB$ este opusă lui $\angle C$, deci $\angle C = 30°$, iar $\angle B = 60°$.

    Arată rezolvarea

    Reciproca spune că unghiul de $30°$ este cel opus catetei care este jumătate din ipotenuză. $AB$ nu trece prin $C$, deci este opusă lui $\angle C$. Atunci $\angle B = 90° - 30° = 60°$.

    Vezi lecția
19. Clasa a VI-aProvocare

    Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Proprietățile triunghiului dreptunghic

    $\angle A = 90°$, $\angle C = 30°$, $BC = 14\text{ cm}$, $M$ mijlocul lui $BC$. Arată că $\triangle AMB$ este echilateral și află perimetrul lui.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $21\text{ cm}$

    Arată rezolvarea

    $AB = 14 : 2 = 7\text{ cm}$ (opusă unghiului de $30°$ din $C$). $AM = MB = 7\text{ cm}$ (mediana ipotenuzei). Toate laturile lui $\triangle AMB$ au $7\text{ cm}$: este echilateral, cu perimetrul $21\text{ cm}$.

    Vezi lecția
20. Clasa a VI-aProvocare

    Triunghiuri particulare. Teorema lui Pitagora›Proprietățile triunghiului dreptunghic

    $\angle A = 90°$, $\angle C = 30°$, $AB = 6\text{ cm}$, $AD \perp BC$, $D$ pe $BC$. Află $BC$, $BD$ și $DC$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $BC = 12\text{ cm}$, $BD = 3\text{ cm}$, $DC = 9\text{ cm}$

    Arată rezolvarea

    $AB$ este opusă unghiului de $30°$, deci $BC = 2 \cdot 6 = 12\text{ cm}$. $\angle B = 60°$, iar în $\triangle ABD$ (drept în $D$), $\angle BAD = 90° - 60° = 30°$, deci $BD = \frac{AB}{2} = 3\text{ cm}$. $DC = 12 - 3 = 9\text{ cm}$.

    Vezi lecția