Exerciții de matematică cu răspunsuri

Clasa a VI-aUșor

Triunghiuri particulare. Teorema lui PitagoraTriunghiul isoscel și triunghiul echilateral

În triunghiul isoscel din figură, află $\angle B$ și $\angle C$

Arată răspunsul

Răspuns: $\angle B = \angle C = 75°$

Arată rezolvarea

$(180° - 30°) : 2 = 75°$

Vezi lecția

Clasa a VI-aUșor

Triunghiuri particulare. Teorema lui PitagoraTriunghiul isoscel și triunghiul echilateral

În triunghiul isoscel din figură, află $\angle A$

Arată răspunsul

Răspuns: $44°$

Arată rezolvarea

$\angle B = \angle C = 68°$ (unghiurile de la bază), deci $\angle A = 180° - 2 \cdot 68° = 44°$

Vezi lecția

Clasa a VI-aUșor

Triunghiuri particulare. Teorema lui PitagoraTriunghiul isoscel și triunghiul echilateral

Un triunghi echilateral are latura de $5\text{ cm}$ Cât este perimetrul? Cât are fiecare unghi?

Arată răspunsul

Răspuns: $15\text{ cm}$ $60°$

Vezi lecția

Clasa a VI-aUșor

Triunghiuri particulare. Teorema lui PitagoraTriunghiul isoscel și triunghiul echilateral

În $\triangle ABC$ $\angle B = \angle C = 50°$ Cât măsoară $\angle A$

Arată răspunsul

Răspuns: $80°$

Arată rezolvarea

$\angle A=180°-50°-50°=80°$

Vezi lecția

Clasa a VI-aUșor

Triunghiuri particulare. Teorema lui PitagoraTriunghiul isoscel și triunghiul echilateral

Scrie reciproca afirmației: „Dacă un triunghi are toate laturile egale, atunci are toate unghiurile egale.”

Arată răspunsul

Răspuns: Dacă un triunghi are toate unghiurile egale, atunci are toate laturile egale.

Vezi lecția

Clasa a VI-aMediu

Triunghiuri particulare. Teorema lui PitagoraTriunghiul isoscel și triunghiul echilateral

Unghiurile triunghiului $ABC$ din figură sunt $\angle A = 55°$ $\angle B = 55°$ $\angle C = 70°$ Ce laturi sunt egale? Care este vârful principal?

Arată răspunsul

Răspuns: $CA = CB$ vârful principal $C$

Arată rezolvarea

$\angle A = \angle B$ deci triunghiul este isoscel (reciproca). Latura opusă lui $\angle A$ este $BC$ cea opusă lui $\angle B$ este $CA$ Vârful principal este $C$ cel cu unghiul diferit.

Vezi lecția

Clasa a VI-aMediu

Triunghiuri particulare. Teorema lui PitagoraTriunghiul isoscel și triunghiul echilateral

În $\triangle PQR$ cu $PQ = PR$ $PS$ este bisectoarea unghiului $P$ cu $S$ pe $QR$ iar $SR = 6{,}5\text{ cm}$ Află $QR$ și $\angle PSQ$

Arată răspunsul

Răspuns: $QR = 13\text{ cm}$ $\angle PSQ = 90°$

Arată rezolvarea

Bisectoarea din vârful principal este și mediană, deci $QS = SR = 6{,}5\text{ cm}$ și $QR = 13\text{ cm}$ Este și înălțime, deci $\angle PSQ = 90°$

Vezi lecția

Clasa a VI-aMediu

Triunghiuri particulare. Teorema lui PitagoraTriunghiul isoscel și triunghiul echilateral

În $\triangle ABC$ cu $AB = AC$ $D$ este mijlocul lui $BC$ și $\angle B = 64°$ Află $\angle BAD$ și $\angle ADC$

Arată răspunsul

Răspuns: $\angle BAD = 26°$ $\angle ADC = 90°$

Arată rezolvarea

$\angle C = \angle B = 64°$ deci $\angle BAC = 180° - 128° = 52°$ Mediana din vârful principal este și bisectoare: $\angle BAD = 52° : 2 = 26°$ Este și înălțime: $\angle ADC = 90°$

Vezi lecția

Clasa a VI-aMediu

Triunghiuri particulare. Teorema lui PitagoraTriunghiul isoscel și triunghiul echilateral

În $\triangle ABC$ cu $AB=AC$ și $AD\perp BC$ ce rol are punctul $D$ pe segmentul $BC$

Arată răspunsul

Răspuns: Este mijlocul segmentului $BC$

Arată rezolvarea

Într-un triunghi isoscel, înălțimea din vârful principal este și mediană.

Vezi lecția

Clasa a VI-aMediu

Triunghiuri particulare. Teorema lui PitagoraTriunghiul isoscel și triunghiul echilateral

Un triunghi isoscel are un unghi de $100°$ Care sunt celelalte două unghiuri?

Arată răspunsul

Răspuns: $40°$ și $40°$

Arată rezolvarea

Unghiul de $100°$ nu poate fi la bază (unghiurile de la bază sunt ascuțite), deci este în vârf: $(180° - 100°) : 2 = 40°$

Vezi lecția

Clasa a VI-aMediu

Triunghiuri particulare. Teorema lui PitagoraTriunghiul isoscel și triunghiul echilateral

Un triunghi isoscel are un unghi de $50°$ Ce valori pot avea celelalte două unghiuri?

Arată răspunsul

Răspuns: $50°$ și $80°$ (dacă $50°$ este la bază) sau $65°$ și $65°$ (dacă $50°$ este în vârf)

Vezi lecția

Clasa a VI-aMediu

Triunghiuri particulare. Teorema lui PitagoraTriunghiul isoscel și triunghiul echilateral

Completează demonstrația: $AB = AC$ (dat), $\angle BAD = \angle CAD$ (…), $AD = AD$ (…). Deci, prin criteriul …, $\triangle ABD \equiv \triangle ACD$ și $\angle ABD = \ldots$

Arată răspunsul

Răspuns: $AD$ bisectoare; latură comună; LUL; $\angle ACD$

Vezi lecția

Clasa a VI-aMediu

Triunghiuri particulare. Teorema lui PitagoraTriunghiul isoscel și triunghiul echilateral

În $\triangle MNP$ $MQ \perp NP$ și $Q$ este mijlocul lui $NP$ $MN = 7{,}5\text{ cm}$ și $NQ = 3\text{ cm}$ Află perimetrul.

Arată răspunsul

Răspuns: $21\text{ cm}$

Arată rezolvarea

$MQ$ este înălțime și mediană, deci triunghiul este isoscel cu $MP = MN = 7{,}5\text{ cm}$ (reciproca). $NP = 2 \cdot 3 = 6\text{ cm}$ iar perimetrul este $7{,}5 + 7{,}5 + 6 = 21\text{ cm}$

Vezi lecția

Clasa a VI-aMediu

Triunghiuri particulare. Teorema lui PitagoraTriunghiul isoscel și triunghiul echilateral

Direct sau reciproc? „Știm că $\angle P = \angle Q$ în $\triangle MPQ$ și deducem $MP = MQ$

Arată răspunsul

Răspuns: reciproc (din unghiuri egale deducem laturi egale)

Vezi lecția

Clasa a VI-aProvocare

Triunghiuri particulare. Teorema lui PitagoraTriunghiul isoscel și triunghiul echilateral

În $\triangle ABC$ cu $AB = AC$ și $\angle B = 35°$ calculează $\angle A$

Arată răspunsul

Răspuns: $110°$

Arată rezolvarea

$\angle C=35°$ deci $\angle A=180°-35°-35°=110°$

Vezi lecția

Clasa a VI-aProvocare

Triunghiuri particulare. Teorema lui PitagoraTriunghiul isoscel și triunghiul echilateral

Demonstrează: dacă în $\triangle ABC$ segmentul $AD$ $D$ pe $BC$ este înălțime și mediană, atunci $AB = AC$ Scrie triunghiurile, pașii cu justificări și criteriul.

Arată răspunsul

Răspuns: $\triangle ABD \equiv \triangle ACD$ prin CC (Catetă – Catetă), deci $AB = AC$

Arată rezolvarea

$\angle ADB = \angle ADC = 90°$ $AD \perp BC$ $BD = CD$ $D$ mijloc), $AD$ latură comună.

Vezi lecția

Clasa a VI-aProvocare

Triunghiuri particulare. Teorema lui PitagoraTriunghiul isoscel și triunghiul echilateral

De ce, în demonstrația reciprocei $\angle B = \angle C \Rightarrow AB = AC$ nu ai voie să spui „unghiurile de la bază sunt egale, deci $AB = AC$

Arată răspunsul

Răspuns: Pentru că proprietatea directă pornește de la $AB = AC$ adică de la concluzia pe care o cauți: ar fi raționament circular. Reciproca se demonstrează separat (înălțimea din $A$ și criteriul CU).

Vezi lecția

Clasa a VI-aProvocare

Triunghiuri particulare. Teorema lui PitagoraTriunghiul isoscel și triunghiul echilateral

Maria spune: „Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază pot fi obtuze.” Are dreptate? Folosește figura ca exemplu.

Arată răspunsul

Răspuns: Nu. Unghiul din vârf poate fi obtuz $120°$ în figură), dar unghiurile de la bază sunt egale și au împreună mai puțin de $180°$ deci fiecare are mai puțin de $90°$

Vezi lecția

Clasa a VI-aProvocare

Triunghiuri particulare. Teorema lui PitagoraTriunghiul isoscel și triunghiul echilateral

În $\triangle ABC$ $AB = AC$ și $\angle B = 60°$ Arată că $BC = AB$

Arată răspunsul

Răspuns: $\angle C = 60°$ deci $\angle A = 60°$ toate unghiurile sunt egale, deci triunghiul este echilateral și $BC = AB$

Vezi lecția

Clasa a VI-aProvocare

Triunghiuri particulare. Teorema lui PitagoraTriunghiul isoscel și triunghiul echilateral

Găsește greșeala: $\triangle ABC$ are $AB = AC$ Atunci bisectoarea din $C$ este și înălțime.”

Arată răspunsul

Răspuns: Proprietatea este doar pentru vârful principal $A$ Din $C$ (sau $B$ bisectoarea și înălțimea nu coincid decât dacă triunghiul este echilateral.

Arată rezolvarea

Contraexemplu: dacă $\angle A = 40°$ atunci $\angle B = \angle C = 70°$ Bisectoarea din $C$ face cu $CB$ un unghi de $70° : 2 = 35°$ iar înălțimea din $C$ pe $AB$ face cu $CB$ un unghi de $90° - 70° = 20°$ Unghiurile sunt diferite, deci segmentele sunt diferite.

Vezi lecția