Exerciții de matematică cu răspunsuri

Clasa a VI-aUșor

Congruența triunghiurilorMetoda triunghiurilor congruente

Completează justificarea: $\angle AOC = \angle BOD$ (…)”, unde $AB$ și $CD$ se intersectează în $O$

Arată răspunsul

Răspuns: unghiuri opuse la vârf

Vezi lecția

Clasa a VI-aMediu

Congruența triunghiurilorMetoda triunghiurilor congruente

În figură, $KL = MN$ $LM = NK$ și $KM$ este comună. Completează congruența: $\triangle KLM \equiv \triangle \ldots$

Arată răspunsul

Răspuns: $\triangle MNK$

Arată rezolvarea

$KL = MN$ $K \leftrightarrow M$ $L \leftrightarrow N$ atunci $M \leftrightarrow K$ Verificare: $LM$ corespunde lui $NK$ (câte două liniuțe).

Vezi lecția

Clasa a VI-aMediu

Congruența triunghiurilorMetoda triunghiurilor congruente

Știind că $\triangle KLM \equiv \triangle MNK$ ce unghi este egal cu $\angle KML$

Arată răspunsul

Răspuns: $\angle MKN$

Arată rezolvarea

Vârful $M$ corespunde lui $K$ $K$ lui $M$ și $L$ lui $N$ $\angle KML \leftrightarrow \angle MKN$

Vezi lecția

Clasa a VI-aMediu

Congruența triunghiurilorMetoda triunghiurilor congruente

Segmentele $EF$ și $GH$ se intersectează în $K$ $K$ este mijlocul lui $GH$ și $\angle KGE = \angle KHF$ Completează: $\angle KGE = \angle KHF$ (dat), $KG = KH$ (…), $\angle GKE = \angle HKF$ (…). Criteriul este … și rezultă $GE = \ldots$

Arată răspunsul

Răspuns: $K$ este mijlocul lui $GH$ unghiuri opuse la vârf; ULU; $HF$

Arată rezolvarea

În $\triangle KGE$ și $\triangle KHF$ latura $KG$ este între unghiurile din $G$ și din $K$ ULU (Unghi – Latură – Unghi), $\triangle KGE \equiv \triangle KHF$ $GE$ și $HF$ sunt opuse unghiurilor egale din $K$ deci $GE = HF$

Vezi lecția

Clasa a VI-aMediu

Congruența triunghiurilorMetoda triunghiurilor congruente

$KM$ este bisectoarea unghiului $LKN$ și $KL = KN$ De demonstrat: $ML = MN$ Pașii elevului: 1) $KL = KN$ (dat); 2) $ML = MN$ (dat); 3) $KM = KM$ (latură comună); deci LLL. Care pas este greșit și de ce?

Arată răspunsul

Răspuns: pasul 2: $ML = MN$ este chiar concluzia (raționament circular)

Arată rezolvarea

Corect: în locul pasului 2, $\angle LKM = \angle NKM$ (bisectoare), unghiul cuprins între $KL$ și $KM$ respectiv $KN$ și $KM$ criteriul LUL.

Vezi lecția

Clasa a VI-aMediu

Congruența triunghiurilorMetoda triunghiurilor congruente

Segmentele $PQ$ și $RS$ se intersectează în $T$ iar $T$ este mijlocul ambelor. Demonstrează că $\angle TPR = \angle TQS$ (scrie triunghiurile, cele trei egalități cu sursele lor și criteriul).

Arată răspunsul

Răspuns: $\triangle TPR \equiv \triangle TQS$ prin LUL, deci $\angle TPR = \angle TQS$

Arată rezolvarea

$TP = TQ$ (mijloc), $\angle PTR = \angle QTS$ (opuse la vârf), $TR = TS$ (mijloc). Unghiurile corespunzătoare din $P$ și $Q$ sunt egale.

Vezi lecția

Clasa a VI-aMediu

Congruența triunghiurilorMetoda triunghiurilor congruente

Punctul $P$ este în interiorul unghiului $EOF$ $PE \perp OE$ $PF \perp OF$ și $PE = PF$ Prin ce criteriu sunt congruente $\triangle OEP$ și $\triangle OFP$ Ce rezultă despre $OP$

Arată răspunsul

Răspuns: IC (Ipotenuză – Catetă); $\angle EOP = \angle FOP$ deci $OP$ este bisectoarea unghiului $EOF$

Arată rezolvarea

Unghiurile drepte sunt în $E$ și $F$ ipotenuza $OP$ este comună, iar catetele $PE = PF$ (dat): IC. Unghiurile corespunzătoare $\angle EOP$ și $\angle FOP$ sunt egale.

Vezi lecția

Clasa a VI-aMediu

Congruența triunghiurilorMetoda triunghiurilor congruente

Andrei scrie: $AB = DE$ $AC = DF$ și $\angle B = \angle E$ deci LUL.” Ce greșește?

Arată răspunsul

Răspuns: $\angle B$ nu este cuprins între $AB$ și $AC$ la LUL trebuie $\angle A = \angle D$

Vezi lecția

Clasa a VI-aMediu

Congruența triunghiurilorMetoda triunghiurilor congruente

Punctele $M$ și $N$ sunt de o parte și de alta a dreptei $AB$ cu $MA = MB$ și $NA = NB$ Demonstrează că $MN$ este bisectoarea unghiului $AMB$ și a unghiului $ANB$

Arată răspunsul

Răspuns: $\triangle MAN \equiv \triangle MBN$ prin LLL, deci $\angle AMN = \angle BMN$ și $\angle ANM = \angle BNM$

Arată rezolvarea

$MA = MB$ (dat), $NA = NB$ (dat), $MN$ latură comună: LLL. Unghiurile corespunzătoare din $M$ sunt egale, la fel cele din $N$

Vezi lecția

Clasa a VI-aProvocare

Congruența triunghiurilorMetoda triunghiurilor congruente

În figură, $AB = DC$ și $AC = DB$ Vrei să demonstrezi $\angle BAC = \angle CDB$ Ce pereche de triunghiuri folosești și de ce nu cealaltă pereche congruentă, $\triangle ABD$ și $\triangle DCA$

Arată răspunsul

Răspuns: $\triangle ABC \equiv \triangle DCB$ (LLL, cu $BC$ comună), deci $\angle BAC = \angle CDB$

Arată rezolvarea

$\triangle ABD \equiv \triangle DCA$ (LLL, cu $AD$ comună) este adevărat, dar unghiurile lor din $A$ și din $D$ sunt $\angle BAD$ și $\angle CDA$ nu unghiurile cerute.

Vezi lecția

Clasa a VI-aProvocare

Congruența triunghiurilorMetoda triunghiurilor congruente

$AB = AD$ $CB = CD$ iar $P$ este pe prelungirea segmentului $CA$ dincolo de $A$ Demonstrează că $PB = PD$

Arată răspunsul

Răspuns: întâi $\triangle ABC \equiv \triangle ADC$ (LLL), deci $\angle BCA = \angle DCA$ apoi $\triangle PCB \equiv \triangle PCD$ (LUL), deci $PB = PD$

Arată rezolvarea

Pasul 2: $CB = CD$ (dat), $\angle BCP = \angle DCP$ (sunt chiar $\angle BCA$ și $\angle DCA$ din pasul 1), $CP$ latură comună. Aici unghiul folosit este cel din $C$ pentru că $P$ nu este între $A$ și $C$

Vezi lecția

Clasa a VI-aProvocare

Congruența triunghiurilorMetoda triunghiurilor congruente

De demonstrat: $OC = OD$ Pașii elevului: $OA = OB$ (dat), $OC = OD$ (dat), $AC = BD$ (dat), deci LLL. Ce este greșit?

Arată răspunsul

Răspuns: $OC = OD$ este chiar concluzia: raționament circular.

Arată rezolvarea

Concluzia nu poate fi folosită ca pas. Trebuie găsită altă egalitate, de exemplu unghiurile opuse la vârf, și alt criteriu.

Vezi lecția

Clasa a VI-aProvocare

Congruența triunghiurilorMetoda triunghiurilor congruente

Pe figură sunt marcate mai multe date decât trebuie. Alege două seturi de date, fiecare suficient pentru $\triangle ABC \equiv \triangle ADC$

Arată răspunsul

Răspuns: de exemplu: $AB = AD$ $\angle BAC = \angle DAC$ $AC$ comună (LUL); sau $AB = AD$ $CB = CD$ $AC$ comună (LLL)

Vezi lecția

Clasa a VI-aProvocare

Congruența triunghiurilorMetoda triunghiurilor congruente

Ioana scrie: $\triangle ABD$ este isoscel, deci $\angle ABD = \angle ADB$ Poate folosi asta în această lecție?

Arată răspunsul

Răspuns: Nu: proprietățile triunghiului isoscel nu sunt încă demonstrate; se folosesc doar după lecția despre triunghiul isoscel.

Vezi lecția

Clasa a VI-aProvocare

Congruența triunghiurilorMetoda triunghiurilor congruente

$M$ este mijlocul lui $BC$ și $AM \perp BC$ Scrie demonstrația completă că $AB = AC$

Arată răspunsul

Răspuns: $\triangle ABM \equiv \triangle ACM$ prin CC (Catetă – Catetă), deci $AB = AC$

Arată rezolvarea

$\angle AMB = \angle AMC = 90°$ $AM \perp BC$ $BM = CM$ $M$ mijloc), $AM$ latură comună. Triunghiurile sunt congruente, deci și ipotenuzele $AB$ și $AC$ sunt egale.

Vezi lecția

Clasa a VI-aProvocare

Congruența triunghiurilorMetoda triunghiurilor congruente

Maria scrie: $\angle AMB = \angle DMC$ pentru că se vede pe desen.” Ce răspunzi? Se poate demonstra?

Arată răspunsul

Răspuns: Desenul nu este justificare. Din $\triangle ABM \equiv \triangle DCM$ (LUL), $\angle AMB$ și $\angle DMC$ sunt corespunzătoare, deci egale.

Vezi lecția

Clasa a VI-aProvocare

Congruența triunghiurilorMetoda triunghiurilor congruente

În figură, $EF = GH$ și $FG = HE$ S-a demonstrat $\triangle EFH \equiv \triangle GHF$ (LLL, cu $FH$ comună). Un elev scrie: „deci $\angle FEG = \angle HGE$ Ce greșește?

Arată răspunsul

Răspuns: $\angle FEG$ și $\angle HGE$ nu sunt unghiuri ale triunghiurilor $EFH$ și $GHF$ (au latura $EG$ trebuie demonstrat $\triangle EFG \equiv \triangle GHE$ (LLL, cu $EG$ comună).

Arată rezolvarea

Dintr-o congruență afli doar elemente ale celor două triunghiuri. $\triangle EFG \equiv \triangle GHE$ $EF = GH$ $FG = HE$ $EG$ comună; abia de aici $\angle FEG = \angle HGE$

Vezi lecția

Clasa a VI-aUșor

Triunghiuri particulare. Teorema lui PitagoraTriunghiul isoscel și triunghiul echilateral

În $\triangle RST$ din figură, $SR = ST$ Care este baza? Ce unghiuri sunt egale?

Arată răspunsul

Răspuns: baza $RT$ $\angle R = \angle T$

Arată rezolvarea

Laturile egale se întâlnesc în $S$ vârful principal. Baza este latura opusă lui, $RT$ iar unghiurile de la bază sunt $\angle R$ și $\angle T$

Vezi lecția

Clasa a VI-aUșor

Triunghiuri particulare. Teorema lui PitagoraTriunghiul isoscel și triunghiul echilateral

Clasifică după laturi triunghiul din figură. Are unghiuri egale?

Arată răspunsul

Răspuns: oarecare; nu are două unghiuri egale

Arată rezolvarea

Dacă ar avea două unghiuri egale, ar fi isoscel (reciproca). Laturile sunt toate diferite, deci nu este.

Vezi lecția

Clasa a VI-aUșor

Triunghiuri particulare. Teorema lui PitagoraTriunghiul isoscel și triunghiul echilateral

În $\triangle ABC$ cu $AB = AC$ $\angle B = 72°$ Cât este $\angle C$

Arată răspunsul

Răspuns: $72°$

Arată rezolvarea

Unghiurile de la bază sunt egale.

Vezi lecția