Exerciții

Exerciții de matematică cu răspunsuri

Exerciții cu răspunsuri, de la ușor la provocare. Rezolvă pe caiet, apoi verifică răspunsul.

2589 exerciții · pagina 125 din 130

Clasa a VIII-aMediu
Secțiuni și trunchiuriSecțiuni în corpuri geometrice. Trunchiul de piramidă și trunchiul de con
Un trunchi de con are razele bazelor $R = 13$ cm și $r = 8$ cm, iar generatoarea $G = 13$ cm. Calculează înălțimea trunchiului.
Arată răspunsul
Răspuns: $h = 12$ cm.
Arată rezolvarea
$h^2 = G^2-(R-r)^2 = 169-25=144$ deci $h=12$ cm.
Vezi lecția
Clasa a VIII-aMediu
Secțiuni și trunchiuriSecțiuni în corpuri geometrice. Trunchiul de piramidă și trunchiul de con
Un elev spune: „Trunchiul de piramidă este o prismă cu bazele puțin diferite.” Explică de ce nu este corect.
Arată răspunsul
Răspuns: Nu este corect: la prismă bazele sunt congruente, iar fețele laterale sunt paralelograme; la trunchi bazele sunt doar asemenea, iar fețele laterale sunt trapeze.
Vezi lecția
Clasa a VIII-aMediu
Secțiuni și trunchiuriSecțiuni în corpuri geometrice. Trunchiul de piramidă și trunchiul de con
Un trunchi de con are bazele cu razele $4$ cm și $6$ cm. Care este raza bazei mari și care este raza bazei mici? Cum este generatoarea față de axă?
Arată răspunsul
Răspuns: Baza mare are raza $6$ cm, baza mică are raza $4$ cm; generatoarea este oblică, nu paralelă cu axa.
Arată rezolvarea
La un trunchi de con razele sunt diferite $R \neq r$ iar baza mare are raza mai mare: $R = 6$ cm, $r = 4$ cm. Generatoarea unește cele două cercuri oblic, deci nu este paralelă cu axa (spre deosebire de cilindru).
Vezi lecția
Clasa a VIII-aProvocare
Secțiuni și trunchiuriSecțiuni în corpuri geometrice. Trunchiul de piramidă și trunchiul de con
O piramidă patrulateră regulată are înălțimea $H$ La ce distanță de apex trebuie dus un plan paralel cu baza, ca secțiunea să aibă latura exact jumătate din latura bazei?
Arată răspunsul
Răspuns: La $H/2$ de apex.
Arată rezolvarea
Raportul de asemănare al laturilor este egal cu raportul înălțimilor (de la apex la planul secțiunii); pentru raport $1/2$ distanța de la apex este $H/2$
Vezi lecția
Clasa a VIII-aProvocare
Secțiuni și trunchiuriSecțiuni în corpuri geometrice. Trunchiul de piramidă și trunchiul de con
O piramidă patrulateră regulată are baza latura $a$ Un plan paralel cu baza produce o secțiune cu latura $a/3$ Exprimă, în funcție de înălțimea totală $H$ la ce distanță de apex se află planul secant.
Arată răspunsul
Răspuns: La $H/3$ de apex.
Arată rezolvarea
Raportul de asemănare al laturilor este $1/3$ egal cu raportul înălțimilor măsurate de la apex, deci distanța este $H/3$
Vezi lecția
Clasa a VIII-aProvocare
Secțiuni și trunchiuriSecțiuni în corpuri geometrice. Trunchiul de piramidă și trunchiul de con
Un trunchi de piramidă are baza mare latura $a$ și baza mică latura $b$ $a > b$ ambele pătrate. Piramida inițială, întreagă, are înălțimea $H$ La ce înălțime (de la bază) a fost secționată piramida, dacă baza mică este secțiunea?
Arată răspunsul
Răspuns: La înălțimea $H\cdot\dfrac{a-b}{a}$ măsurată de la baza mare.
Arată rezolvarea
Piramida mică îndepărtată are latura bazei $b$ și este asemenea cu piramida totală (latura $a$ raport $b/a$ înălțimea ei, măsurată de la apex, este $H\cdot b/a$ Planul secant este la distanța $H - H\cdot b/a = H\cdot\dfrac{a-b}{a}$ de baza mare.
Vezi lecția
Clasa a VIII-aProvocare
Secțiuni și trunchiuriSecțiuni în corpuri geometrice. Trunchiul de piramidă și trunchiul de con
Un trunchi de con are generatoarea $G = 17$ cm și înălțimea $h = 15$ cm. Diferența razelor bazelor este $R - r$ Calculează $R - r$ apoi explică de ce acest calcul nu îți spune și valorile lui $R$ și $r$ separat.
Arată răspunsul
Răspuns: $R - r = 8$ cm.
Arată rezolvarea
$(R-r)^2 = G^2-h^2 = 289-225=64$ deci $R-r=8$ cm. Relația $G^2=h^2+(R-r)^2$ determină doar DIFERENȚA razelor, nu fiecare rază în parte; sunt infinit de multe perechi $(R,r)$ cu $R-r=8$
Vezi lecția
Clasa a VIII-aProvocare
Secțiuni și trunchiuriSecțiuni în corpuri geometrice. Trunchiul de piramidă și trunchiul de con
Explică de ce secțiunea diagonală a unei piramide patrulatere regulate (cu baza pătrat) este un triunghi isoscel, și nu un triunghi oarecare.
Arată răspunsul
Răspuns: Pentru că cele două muchii laterale care mărginesc secțiunea sunt congruente.
Arată rezolvarea
La o piramidă regulată, apexul este exact deasupra centrului bazei, deci orice două muchii laterale sunt congruente (fiecare este ipotenuza aceluiași triunghi dreptunghic, cu catetele egale cu înălțimea și cu distanța de la centrul bazei la vârful respectiv). Secțiunea diagonală are drept laturi oblice exact două asemenea muchii, deci este isoscelă.
Vezi lecția
Clasa a VIII-aProvocare
Secțiuni și trunchiuriSecțiuni în corpuri geometrice. Trunchiul de piramidă și trunchiul de con
Un elev desenează un con și trasează un segment de la vârf până la un punct oarecare de pe conturul bazei (nu prin centru), numindu-l „secțiune axială”. Explică de ce greșește, și ce ar trebui să deseneze în loc.
Arată răspunsul
Răspuns: Greșește pentru că segmentul de la vârf la un singur punct nu este o secțiune (nu e o figură obținută prin intersecție cu un plan întreg) și, chiar dacă ar completa planul, acel plan ar trebui să conțină axa, nu doar un punct oarecare de pe bază.
Arată rezolvarea
O secțiune axială este o figură plană (un triunghi, la con), obținută cu un plan care conține întreaga axă a conului, deci trece prin vârf ȘI printr-un diametru complet al bazei (două puncte diametral opuse), nu printr-un singur punct ales la întâmplare.
Vezi lecția
Clasa a VIII-aUșor
Arii și volume: prisme și piramideDistanțe și unghiuri în cub și paralelipiped. Aria și volumul lor
Scrie formula diagonalei unei fețe a cubului cu muchia $a$
Arată răspunsul
Răspuns: $d = a\sqrt2$
Vezi lecția
Clasa a VIII-aUșor
Arii și volume: prisme și piramideDistanțe și unghiuri în cub și paralelipiped. Aria și volumul lor
Scrie formula diagonalei cubului cu muchia $a$
Arată răspunsul
Răspuns: $D = a\sqrt3$
Vezi lecția
Clasa a VIII-aUșor
Arii și volume: prisme și piramideDistanțe și unghiuri în cub și paralelipiped. Aria și volumul lor
Un cub are muchia $3$ cm. Calculează diagonala unei fețe.
Arată răspunsul
Răspuns: $3\sqrt2$ cm.
Vezi lecția
Clasa a VIII-aUșor
Arii și volume: prisme și piramideDistanțe și unghiuri în cub și paralelipiped. Aria și volumul lor
Un cub are muchia $5$ cm. Calculează diagonala cubului.
Arată răspunsul
Răspuns: $5\sqrt3$ cm.
Vezi lecția
Clasa a VIII-aUșor
Arii și volume: prisme și piramideDistanțe și unghiuri în cub și paralelipiped. Aria și volumul lor
Scrie formula ariei totale a cubului cu muchia $a$
Arată răspunsul
Răspuns: $A_t = 6a^2$
Vezi lecția
Clasa a VIII-aUșor
Arii și volume: prisme și piramideDistanțe și unghiuri în cub și paralelipiped. Aria și volumul lor
Scrie formula volumului cubului cu muchia $a$
Arată răspunsul
Răspuns: $V = a^3$
Vezi lecția
Clasa a VIII-aUșor
Arii și volume: prisme și piramideDistanțe și unghiuri în cub și paralelipiped. Aria și volumul lor
Un paralelipiped dreptunghic are toate cele trei dimensiuni egale cu $1$ cm. Ce corp este, de fapt?
Arată răspunsul
Răspuns: Un cub.
Arată rezolvarea
Un paralelipiped dreptunghic cu $a=b=c$ este exact un cub.
Vezi lecția
Clasa a VIII-aUșor
Arii și volume: prisme și piramideDistanțe și unghiuri în cub și paralelipiped. Aria și volumul lor
Calculează volumul unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile $2$ cm, $3$ cm și $4$ cm.
Arată răspunsul
Răspuns: $24$ cm³.
Arată rezolvarea
$V = 2\cdot3\cdot4 = 24$ cm³.
Vezi lecția
Clasa a VIII-aUșor
Arii și volume: prisme și piramideDistanțe și unghiuri în cub și paralelipiped. Aria și volumul lor
Aria se măsoară în unități pătrate, iar volumul în unități... (completează).
Arată răspunsul
Răspuns: Cubice.
Vezi lecția
Clasa a VIII-aMediu
Arii și volume: prisme și piramideDistanțe și unghiuri în cub și paralelipiped. Aria și volumul lor
Diagonala unei fețe a unui cub este $6\sqrt2$ cm. Calculează muchia cubului.
Arată răspunsul
Răspuns: $6$ cm.
Arată rezolvarea
Din $d=a\sqrt2$ $a = \dfrac{6\sqrt2}{\sqrt2} = 6$ cm.
Vezi lecția
Clasa a VIII-aMediu
Arii și volume: prisme și piramideDistanțe și unghiuri în cub și paralelipiped. Aria și volumul lor
Diagonala unui cub este $12\sqrt3$ cm. Calculează aria totală a cubului.
Arată răspunsul
Răspuns: $864$ cm².
Arată rezolvarea
Din $D=a\sqrt3$ $a=12$ cm; $A_t=6\cdot12^2=864$ cm².
Vezi lecția