Exerciții de matematică cu răspunsuri

2589 exerciții · pagina 122 din 130

1. Clasa a VIII-aMediu

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

   $AE \perp (ABCD)$. Ce unghi are $AE$ cu diagonala $AC$ a planului?

   Arată răspunsul

   Răspuns: $90°$.

   Arată rezolvarea

   Fiind perpendiculară pe plan, $AE$ este perpendiculară pe orice dreaptă a planului prin $A$, inclusiv $AC$.

   Vezi lecția
2. Clasa a VIII-aMediu

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

   Pe cubul $ABCD$–$EFGH$, determină unghiul dintre diagonala de față $AF$ și planul $(ABCD)$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $45°$.

   Arată rezolvarea

   $FB \perp (ABCD)$ (muchie a cubului), deci proiecția lui $AF$ pe plan este $AB$, iar unghiul cerut este $\widehat{FAB}$. Triunghiul $ABF$ este dreptunghic în $B$ și isoscel ($AB = BF$), deci $\widehat{FAB} = 45°$.

   Vezi lecția
3. Clasa a VIII-aMediu

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

   Un elev calculează unghiul dintre $AG$ și plan folosind triunghiul $ABG$ în loc de $ACG$. Este corect?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Nu.

   Arată rezolvarea

   Piciorul perpendicularei din $G$ pe plan este $C$, nu $B$; proiecția corectă a lui $AG$ este $AC$, nu $AB$.

   Vezi lecția
4. Clasa a VIII-aMediu

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

   Două semiplane au muchia comună $d$. Un elev duce, dintr-un punct $P \in d$, semidreapta $PR_1 \perp d$ în primul semiplan și o semidreaptă $PS$ oblică față de $d$ în al doilea. Este $\widehat{R_1PS}$ unghiul diedru?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Nu.

   Arată rezolvarea

   $PS$ nu este perpendiculară pe muchie. Unghiul liniar al diedrului cere semidrepte perpendiculare pe muchie în ambele semiplane.

   Vezi lecția
5. Clasa a VIII-aMediu

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

   Arată, folosind criteriul cu dreaptă perpendiculară, că fețele $(ABFE)$ și $(ABCD)$ ale cubului sunt perpendiculare, fără calculul explicit al unghiului diedru.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $(ABFE)$ conține $AE$, iar $AE \perp (ABCD)$, deci $(ABFE) \perp (ABCD)$.

   Arată rezolvarea

   Criteriul echivalent: un plan care conține o dreaptă perpendiculară pe alt plan este perpendicular pe el. Aici $AE \perp AB$ și $AE \perp AD$ (laturi ale pătratelor fețelor), deci $AE \perp (ABCD)$.

   Vezi lecția
6. Clasa a VIII-aMediu

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

   Pe cubul $ABCD$–$EFGH$, ce unghi diedru au fețele adiacente $(ABCD)$ și $(BCGF)$?

   Arată răspunsul

   Răspuns: $90°$.

   Arată rezolvarea

   Toate fețele adiacente ale cubului formează unghiuri diedre drepte.

   Vezi lecția
7. Clasa a VIII-aMediu

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

   Dreapta $d$ este perpendiculară doar pe dreapta $m$ a planului $\alpha$, fără altă verificare. Poți conchide $d \perp \alpha$?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Nu.

   Arată rezolvarea

   O singură dreaptă nu este suficientă; e nevoie de o a doua dreaptă concurentă cu $m$, prin același punct.

   Vezi lecția
8. Clasa a VIII-aMediu

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

   Un elev spune: „$AE \perp (ABCD)$ ȘI $AE \perp (EFGH)$, deci $(ABCD)$ nu poate fi paralel cu $(EFGH)$.” Este corect?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Nu, concluzia e falsă.

   Arată rezolvarea

   Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două plane diferite, acele plane sunt chiar paralele între ele (nu contrariul); $(ABCD) \parallel (EFGH)$, confirmat deja în Modulul 7.

   Vezi lecția
9. Clasa a VIII-aMediu

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

   Două semiplane au muchia comună $d$. Prin punctul $P \in d$ se construiesc $PA \perp d$ în primul semiplan și $PB \perp d$ în al doilea semiplan. Dacă $\widehat{APB} = 60°$, care este măsura unghiului diedru?

   Arată răspunsul

   Răspuns: $60°$.

   Arată rezolvarea

   $PA$ și $PB$ sunt perpendiculare pe muchie, în același punct $P$, câte una în fiecare semiplan, deci $\widehat{APB}$ este unghiul liniar al diedrului.

   Vezi lecția
10. Clasa a VIII-aMediu

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

    O dreaptă $d$ este conținută într-un plan $\beta$, perpendicular pe un plan $\alpha$. Este $d$ neapărat perpendiculară pe $\alpha$?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Nu neapărat.

    Arată rezolvarea

    Doar dreapta din $\beta$ perpendiculară pe muchia comună cu $\alpha$ este, ea, perpendiculară pe $\alpha$; o dreaptă oarecare din $\beta$ nu este automat perpendiculară pe $\alpha$.

    Vezi lecția
11. Clasa a VIII-aProvocare

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

    Demonstrează, folosind criteriul dreaptă perpendiculară pe plan, de ce $AE$, perpendiculară pe $(ABCD)$, este automat perpendiculară și pe orice paralelă a lui $AB$ sau $AD$ din plan, nu doar pe ele însele.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $AE \perp AB$ și $AE \perp AD$, două drepte concurente ale planului, deci $AE \perp (ABCD)$. Prin definiție, $AE$ este atunci perpendiculară pe orice dreaptă a planului care trece prin $A$; o paralelă $m$ la $AB$ din plan are, prin $A$, paralela $AB$, deci unghiul dintre $AE$ și $m$ este egal cu unghiul dintre $AE$ și $AB$, adică $90°$.

    Arată rezolvarea

    Pasul 1: criteriul dă $AE \perp (ABCD)$. Pasul 2: unghiul dintre $AE$ și o dreaptă $m$ a planului se citește la dreapta paralelă cu $m$ prin $A$, care este tot o dreaptă a planului prin $A$, deci perpendiculară pe $AE$.

    Vezi lecția
12. Clasa a VIII-aProvocare

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

    Două plane $\alpha$ și $\beta$ sunt amândouă perpendiculare pe un al treilea plan $\gamma$. Sunt $\alpha$ și $\beta$ neapărat perpendiculare între ele?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Nu neapărat.

    Arată rezolvarea

    Contraexemplu pe cub: $(ABCD)$ și $(EFGH)$ (fețe opuse, paralele) sunt amândouă perpendiculare pe $(ABFE)$, dar nu sunt perpendiculare între ele (sunt paralele).

    Vezi lecția
13. Clasa a VIII-aProvocare

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

    Pe cubul de latură $4$, este unghiul dintre $AG$ și planul $(ABCD)$ la fel de mare ca unghiul dintre $AG$ și planul $(ABFE)$? Justifică.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Da, pentru că tangenta este $\dfrac{\sqrt2}{2}$ în ambele cazuri.

    Arată rezolvarea

    Pentru $(ABCD)$: proiecția lui $G$ este $C$, deci $\text{tg}\,\widehat{GAC} = \dfrac{GC}{AC} = \dfrac{4}{4\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$. Pentru $(ABFE)$: $GF \perp (ABFE)$, proiecția lui $AG$ este $AF$, iar $\text{tg}\,\widehat{GAF} = \dfrac{GF}{AF} = \dfrac{4}{4\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$.

    Vezi lecția
14. Clasa a VIII-aProvocare

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

    Pe cubul $ABCD$–$EFGH$, determină unghiul dintre diagonala de față $BD$ și planul $(ABFE)$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $45°$.

    Arată rezolvarea

    Piciorul perpendicularei din $D$ pe planul $(ABFE)$ este $A$ (pentru că $DA \perp AB$ și $DA \perp AE$, deci $DA \perp (ABFE)$); proiecția lui $BD$ pe $(ABFE)$ este $BA$; triunghiul $ABD$ dreptunghic în $A$ cu $AB=AD=4$ dă $\widehat{DBA}=45°$.

    Vezi lecția
15. Clasa a VIII-aProvocare

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

    Un elev afirmă: „Dacă unghiul dintre o dreaptă și un plan este $0°$, dreapta este perpendiculară pe plan.” Corectează afirmația.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Fals; invers: $0°$ înseamnă dreaptă conținută în plan (sau paralelă cu el), iar $90°$ înseamnă dreaptă perpendiculară pe plan.

    Arată rezolvarea

    Elevul a inversat cele două cazuri limită ale unghiului dreaptă–plan.

    Vezi lecția
16. Clasa a VIII-aProvocare

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

    Arată că cele două criterii echivalente de perpendicularitate a planelor (unghi diedru $90°$ și dreaptă perpendiculară conținută) dau același rezultat pe exemplul $(DCGH)$–$(ABCD)$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Ambele dau $(DCGH) \perp (ABCD)$: unghiul diedru calculat direct este $90°$ (exemplul 10), iar $DH \subset (DCGH)$ cu $DH \perp (ABCD)$ (criteriul echivalent, exemplul 11).

    Arată rezolvarea

    Cele două criterii sunt legate: dreapta perpendiculară din criteriu, $DH$, este chiar una dintre cele două semidrepte ale unghiului liniar al diedrului.

    Vezi lecția
17. Clasa a VIII-aUșor

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

    În teorema celor trei perpendiculare, cum se numește segmentul $MK$?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Perpendiculara din punctul exterior pe plan (piciorul este $K$).

    Vezi lecția
18. Clasa a VIII-aUșor

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

    Cum se numește segmentul $KN$ din teoremă?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Proiecția ortogonală a oblicei $MN$ pe plan.

    Vezi lecția
19. Clasa a VIII-aUșor

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

    Care este ipoteza teoremei celor trei perpendiculare: $d \perp KN$ sau $d \perp MN$?

    Arată răspunsul

    Răspuns: $d \perp KN$.

    Vezi lecția
20. Clasa a VIII-aUșor

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

    Care este concluzia teoremei celor trei perpendiculare?

    Arată răspunsul

    Răspuns: $d \perp MN$.

    Vezi lecția