Exerciții de matematică cu răspunsuri

2589 exerciții · pagina 123 din 130

1. Clasa a VIII-aUșor

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

   Cum se numește dreapta $MN$ din configurația teoremei?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Oblica.

   Vezi lecția
2. Clasa a VIII-aUșor

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

   Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea cărui segment?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Segmentul perpendicular din punct pe dreaptă, până la picior.

   Vezi lecția
3. Clasa a VIII-aUșor

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

   Distanța de la un punct la un plan este lungimea cărui segment?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Segmentul perpendicular din punct pe plan, până la picior.

   Vezi lecția
4. Clasa a VIII-aUșor

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

   Distanța dintre două plane paralele este lungimea cărui segment?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Segmentul perpendicular comun celor două plane.

   Vezi lecția
5. Clasa a VIII-aUșor

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

   Pe cubul $ABCD$–$EFGH$, ce distanță reprezintă muchia $HD$?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Distanța de la $H$ la planul $(ABCD)$ (la fel, de la $D$ la planul $(EFGH)$).

   Vezi lecția
6. Clasa a VIII-aUșor

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

   Pe cubul $ABCD$–$EFGH$, de latură $4$, ce distanță reprezintă muchia $AE$?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Distanța dintre planele paralele $(ABCD)$ și $(EFGH)$, egală cu $4$.

   Vezi lecția
7. Clasa a VIII-aMediu

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

   Punctul $M$ este la $4$ cm de planul $\alpha$, cu piciorul perpendicularei $K$, iar $N \in \alpha$ este la $3$ cm de $K$. Ce lungime are proiecția oblicei $MN$ pe $\alpha$?

   Arată răspunsul

   Răspuns: $3$ cm.

   Arată rezolvarea

   Proiecția oblicei $MN$ pe $\alpha$ este $KN$, deci are $3$ cm.

   Vezi lecția
8. Clasa a VIII-aMediu

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

   Dreapta $d$ din planul $\alpha$ trece prin $N$ și formează cu $KN$ un unghi de $60°$. Poți aplica teorema celor trei perpendiculare pentru a conchide $d \perp MN$?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Nu.

   Arată rezolvarea

   Ipoteza cere $d \perp KN$, adică un unghi de $90°$ între $d$ și proiecție.

   Vezi lecția
9. Clasa a VIII-aMediu

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

   Pe cub, arată că dreapta $d$ prin $A$, paralelă cu $BD$, este perpendiculară pe $CA$ (proiecția lui $GA$).

   Arată răspunsul

   Răspuns: Adevărat, pentru că $BD \perp CA$ (diagonalele pătratului) și $d \parallel BD$.

   Arată rezolvarea

   Paralelismul păstrează perpendicularitatea pe $CA$.

   Vezi lecția
10. Clasa a VIII-aMediu

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

    Folosind rezultatul exercițiului anterior și teorema celor trei perpendiculare, ce poți conchide despre $d$ și diagonala spațială $GA$?

    Arată răspunsul

    Răspuns: $d \perp GA$.

    Arată rezolvarea

    $GC \perp (ABCD)$, piciorul $C$, proiecția lui $GA$ este $CA$, $d \perp CA$, deci $d \perp GA$.

    Vezi lecția
11. Clasa a VIII-aMediu

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

    Distanța de la punctul $P$ la dreapta $m$ este realizată de perpendiculara $PF$. Dacă $PF=7$, care este distanța?

    Arată răspunsul

    Răspuns: $7$.

    Arată rezolvarea

    Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea segmentului perpendicular.

    Vezi lecția
12. Clasa a VIII-aMediu

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

    Un elev alege, pe dreapta $m$, un punct $Q \ne F$ și calculează $PQ = 5$, declarând-o „distanța” de la $P$ la $m$. Este corect?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Nu.

    Arată rezolvarea

    Distanța este $PF$ (perpendiculara), nu $PQ$ (oblică); $PQ > PF$ întotdeauna când $Q \ne F$.

    Vezi lecția
13. Clasa a VIII-aMediu

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

    Determină distanța de la vârful $F$ la planul $(ADHE)$ al cubului $ABCD$–$EFGH$ de latură $6$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $6$.

    Arată rezolvarea

    $FE \perp EA$ și $FE \perp EH$ (fețe pătrate), deci $FE \perp (ADHE)$, cu piciorul $E$. Distanța este $FE = 6$.

    Vezi lecția
14. Clasa a VIII-aMediu

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

    Pe același cub de latură $6$, un elev declară diagonala de față $FA = 6\sqrt2$ drept „distanța de la $F$ la planul $(ADHE)$”. Corectează greșeala.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Distanța corectă este $FE = 6$ (perpendiculara); $FA$ este oblica, mai lungă.

    Arată rezolvarea

    $A$ este în plan, dar $FA$ nu este perpendiculară pe $(ADHE)$: proiecția ei pe plan este $EA$. În triunghiul $FEA$, drept în $E$, $FA = 6\sqrt2 > FE = 6$.

    Vezi lecția
15. Clasa a VIII-aMediu

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

    Determină distanța dintre două fețe opuse și paralele ale unui cub cu latura $6$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $6$.

    Arată rezolvarea

    O muchie perpendiculară pe ambele fețe are lungimea egală cu latura cubului.

    Vezi lecția
16. Clasa a VIII-aMediu

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

    Pe cubul de latură $4$, un elev folosește muchia $DH$ în loc de $AE$ pentru distanța dintre $(ABCD)$ și $(EFGH)$. Obține același rezultat?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Da, $4$.

    Arată rezolvarea

    Toate muchiile verticale ale cubului sunt perpendiculare pe amândouă fețele și au aceeași lungime.

    Vezi lecția
17. Clasa a VIII-aMediu

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

    În pătratul $ABCD$, este muchia $AB$ perpendiculară pe diagonala $CA$? Poți folosi această relație ca ipoteză în teorema celor trei perpendiculare?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Nu.

    Arată rezolvarea

    Într-un pătrat, diagonala face un unghi de $45°$ cu laturile, deci $AB\not\perp CA$.

    Vezi lecția
18. Clasa a VIII-aMediu

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

    Explică de ce segmentul $MN$ (oblica) este mai lung decât $MK$ (perpendiculara pe plan), în triunghiul dreptunghic $MKN$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $MN$ este hipotenuza triunghiului dreptunghic $MKN$ (drept în $K$), deci $MN > MK$ și $MN > KN$.

    Arată rezolvarea

    Pitagora: $MN^2 = MK^2 + KN^2 > MK^2$.

    Vezi lecția
19. Clasa a VIII-aMediu

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

    Cu $MK=4$ și $KN=3$ (ca în figura teoremei), calculează $MN$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $5$.

    Arată rezolvarea

    Triunghiul $MKN$ este dreptunghic în $K$: $MN = \sqrt{4^2+3^2} = 5$.

    Vezi lecția
20. Clasa a VIII-aProvocare

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

    Demonstrează, pas cu pas, folosind criteriul dreaptă perpendiculară pe plan, de ce $d \perp KN$ și $MK \perp \alpha$ implică $d \perp MN$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Fie $d'$ paralela la $d$ prin $K$, în $\alpha$. $d' \perp KN$ (ipoteză) și $d' \perp MK$ (pentru că $MK \perp \alpha$ și $d' \subset \alpha$). Dreptele $KN$ și $MK$ sunt concurente în $K$ și sunt în planul $(MKN)$, deci $d' \perp (MKN)$. Cum $d \parallel d'$, $d$ este perpendiculară pe orice dreaptă a planului $(MKN)$, inclusiv pe $MN$.

    Arată rezolvarea

    Aceasta este demonstrația teoremei. Paralela $d'$ aduce perpendicularitatea în piciorul $K$, unde se aplică criteriul dreaptă perpendiculară pe plan.

    Vezi lecția