Exerciții de matematică cu răspunsuri

2589 exerciții · pagina 121 din 130

1. Clasa a VIII-aMediu

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

   Pe cub, verifică dacă muchiile $BC$ și $AE$ sunt concurente, paralele sau necoplanare.

   Arată răspunsul

   Răspuns: Necoplanare.

   Arată rezolvarea

   $BC$ este orizontală, pe fața de jos; $AE$ este verticală, printr-un alt vârf; nu au punct comun și nu au aceeași direcție.

   Vezi lecția
2. Clasa a VIII-aMediu

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

   Dreapta $f$ este paralelă cu planul $\alpha$. Poate $f$ să fie, în același timp, concurentă cu o dreaptă conținută în $\alpha$?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Nu.

   Arată rezolvarea

   Dacă $f$ ar intersecta o dreaptă din $\alpha$, ar avea cu ea un punct comun, deci un punct comun cu $\alpha$, contrazicând paralelismul $f \parallel \alpha$.

   Vezi lecția
3. Clasa a VIII-aMediu

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

   Un elev calculează unghiul dintre două drepte concurente folosind construcția de translație paralelă, specifică dreptelor necoplanare. E nevoie de această construcție?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Nu.

   Arată rezolvarea

   Dreptele concurente au deja un vârf comun; unghiul se citește direct, fără nicio construcție auxiliară.

   Vezi lecția
4. Clasa a VIII-aProvocare

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

   Dreptele $d$ și $e$ sunt necoplanare, iar unghiul lor este $90°$. Arată, pe un exemplu concret de pe cub, o astfel de pereche.

   Arată răspunsul

   Răspuns: De exemplu, $AB$ și $DH$.

   Arată rezolvarea

   $AB$ este orizontală pe fața de jos, $DH$ verticală printr-un vârf opus; ducând prin $A$ paralela la $DH$ (este $AE$), unghiul $\widehat{BAE}$ este $90°$, pentru că $AE \perp AB$.

   Vezi lecția
5. Clasa a VIII-aProvocare

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

   Planul $\alpha$ conține trei drepte concurente în același punct, toate paralele cu planul $\beta$. E necesar să verifici toate trei, sau e de ajuns subsetul minim cerut de criteriu?

   Arată răspunsul

   Răspuns: E de ajuns oricare două dintre cele trei, dacă sunt concurente (deci cu direcții diferite).

   Arată rezolvarea

   Criteriul cere doar două drepte concurente; a treia este o informație suplimentară, nu obligatorie.

   Vezi lecția
6. Clasa a VIII-aProvocare

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

   Pe cubul $ABCD$–$EFGH$, dreapta $d$ este paralelă cu $AB$ și trece printr-un punct din interiorul cubului. Este $d$ paralelă cu planul $(ABFE)$?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Da.

   Arată rezolvarea

   $d \parallel AB$, iar $AB \subset (ABFE)$. Dreapta $d$ nu este conținută în $(ABFE)$, pentru că trece printr-un punct interior cubului, care nu este pe fața $ABFE$. Criteriul dreaptă–plan dă $d \parallel (ABFE)$.

   Vezi lecția
7. Clasa a VIII-aProvocare

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

   Un elev spune: „Dacă unghiul dintre două drepte este $0°$, înseamnă că sunt chiar aceeași dreaptă.” Găsește contraexemplul.

   Arată răspunsul

   Răspuns: Două drepte PARALELE DISTINCTE, de exemplu $AB$ și $EF$ pe cub.

   Arată rezolvarea

   Au unghi $0°$ (aceeași direcție), dar sunt drepte diferite, fără să coincidă.

   Vezi lecția
8. Clasa a VIII-aProvocare

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

   Ce fel de triunghi formează diagonalele de față $BD$, $BG$ și $DG$ ale unui cub? Folosește răspunsul ca să afli unghiul dreptelor $BD$ și $BG$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: Echilateral; unghiul este $60°$.

   Arată rezolvarea

   $BD$, $BG$ și $DG$ sunt diagonale ale unor fețe ale cubului (pătrate congruente), deci au aceeași lungime. Triunghiul $BDG$ este echilateral, așa că $\widehat{DBG} = 60°$.

   Vezi lecția
9. Clasa a VIII-aProvocare

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

   Explică de ce criteriul plan–plan NU funcționează cu două drepte PARALELE (nu concurente) dintr-un plan, fiecare paralelă cu alt plan.

   Arată răspunsul

   Răspuns: Două drepte paralele din $\alpha$ au aceeași direcție, deci dau o singură informație de direcție, nu două distincte; nu fixează complet orientarea lui $\alpha$, la fel ca o singură dreaptă.

   Arată rezolvarea

   Condiția „concurente” este esențială pentru a avea două direcții diferite.

   Vezi lecția
10. Clasa a VIII-aUșor

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

    Câte drepte concurente ale unui plan trebuie verificate pentru criteriul dreaptă perpendiculară pe plan?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Două.

    Vezi lecția
11. Clasa a VIII-aUșor

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

    Dacă $d \perp \alpha$, ce unghi formează $d$ cu $\alpha$?

    Arată răspunsul

    Răspuns: $90°$.

    Vezi lecția
12. Clasa a VIII-aUșor

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

    Dacă o dreaptă este conținută într-un plan, ce unghi formează cu el?

    Arată răspunsul

    Răspuns: $0°$.

    Vezi lecția
13. Clasa a VIII-aUșor

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

    Cum se numește piciorul perpendicularei dintr-un punct al unei drepte pe un plan?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Proiecția ortogonală a punctului pe plan.

    Vezi lecția
14. Clasa a VIII-aUșor

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

    Un unghi diedru este format de ce două obiecte?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Două semiplane cu o muchie comună.

    Vezi lecția
15. Clasa a VIII-aUșor

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

    Cum trebuie să fie, față de muchia comună, cele două semidrepte folosite la construcția unghiului diedru?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Perpendiculare pe muchie, duse în același punct al ei.

    Vezi lecția
16. Clasa a VIII-aUșor

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

    Două plane sunt perpendiculare dacă unghiul lor diedru are ce măsură?

    Arată răspunsul

    Răspuns: $90°$.

    Vezi lecția
17. Clasa a VIII-aUșor

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

    Pe cubul $ABCD$–$EFGH$, ce poziție au fețele opuse $(ABCD)$ și $(EFGH)$: perpendiculare sau paralele?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Paralele.

    Vezi lecția
18. Clasa a VIII-aUșor

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

    Unghiul dintre o dreaptă și proiecția ei ortogonală pe un plan se numește...?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Unghiul dintre dreaptă și plan.

    Vezi lecția
19. Clasa a VIII-aUșor

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

    Pe cubul $ABCD$–$EFGH$, verifică dacă $AE \perp AB$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Da.

    Vezi lecția
20. Clasa a VIII-aMediu

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

    Dreapta $d$ este perpendiculară pe două drepte concurente, $m$ și $n$, ale planului $\alpha$, prin același punct. Ce se poate concluziona?

    Arată răspunsul

    Răspuns: $d \perp \alpha$.

    Arată rezolvarea

    Criteriul dreaptă perpendiculară pe plan se aplică direct.

    Vezi lecția