Exerciții de matematică cu răspunsuri

2589 exerciții · pagina 120 din 130

1. Clasa a VIII-aProvocare

   Corpuri geometrice›Cilindrul și conul circular drept

   Un con circular drept are generatoarea $g = 20$ cm și înălțimea $h = 12$ cm. Calculează raza bazei și unghiul sectorului din desfășurare.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $r = 16$ cm; unghiul este $288°$.

   Arată rezolvarea

   $r^2 = 400 - 144 = 256 \Rightarrow r = 16$ cm. $\theta = \dfrac{16}{20}\cdot 360° = 288°$.

   Vezi lecția
2. Clasa a VIII-aProvocare

   Corpuri geometrice›Cilindrul și conul circular drept

   Un con circular drept are unghiul sectorului din desfășurare $90°$ și generatoarea $g = 8$ cm. Află raza bazei conului.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $r = 2$ cm.

   Arată rezolvarea

   $90° = \dfrac{r}{8}\cdot 360° \Rightarrow \dfrac{r}{8} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow r = 2$ cm.

   Vezi lecția
3. Clasa a VIII-aUșor

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

   Ce condiție trebuie să îndeplinească dreapta $d$ ca să i se aplice criteriul de paralelism cu un plan $\alpha$?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Să fie paralelă cu o dreaptă conținută în $\alpha$ și să nu fie ea însăși conținută în $\alpha$.

   Vezi lecția
4. Clasa a VIII-aUșor

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

   Câte drepte concurente dintr-un plan $\alpha$ sunt necesare pentru criteriul de paralelism plan–plan?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Două.

   Vezi lecția
5. Clasa a VIII-aUșor

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

   Dreptele $OP$ și $OQ$ se intersectează în $O$. Cum se numește unghiul dintre ele?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Unghiul obișnuit măsurat în punctul $O$, ca în plan.

   Vezi lecția
6. Clasa a VIII-aUșor

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

   Ce fel de drepte au nevoie de o construcție auxiliară pentru a le afla unghiul?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Dreptele necoplanare (strâmbe).

   Vezi lecția
7. Clasa a VIII-aUșor

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

   Unghiul dintre două drepte paralele este cât?

   Arată răspunsul

   Răspuns: $0°$.

   Vezi lecția
8. Clasa a VIII-aUșor

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

   Ce dreaptă construiești, printr-un punct ales, ca să afli unghiul a două drepte necoplanare?

   Arată răspunsul

   Răspuns: O dreaptă paralelă cu una dintre cele două, dusă prin punctul ales; unghiul ei cu cealaltă dreaptă este unghiul căutat.

   Vezi lecția
9. Clasa a VIII-aUșor

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

   Numește două muchii ale cubului $ABCD$–$EFGH$ paralele cu muchia $AB$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: De exemplu $EF$ și $DC$ (sau $HG$).

   Vezi lecția
10. Clasa a VIII-aUșor

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

    Dreapta $d$ este conținută în planul $\alpha$. I se poate aplica criteriul „paralelă cu $\alpha$”?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Nu, criteriul cere ca $d$ să nu fie conținută în $\alpha$.

    Vezi lecția
11. Clasa a VIII-aUșor

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

    Unghiul dintre două drepte necoplanare poate fi $0°$?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Nu, pentru că $0°$ ar însemna aceeași direcție, deci paralele (și paralelele sunt coplanare), nu necoplanare.

    Vezi lecția
12. Clasa a VIII-aUșor

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

    Pe cubul $ABCD$–$EFGH$, în ce plan al unei fețe se află muchiile $AB$ și $AE$?

    Arată răspunsul

    Răspuns: În planul feței $(ABFE)$.

    Vezi lecția
13. Clasa a VIII-aMediu

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

    Dreapta $d$ este paralelă cu dreapta $AB \subset \alpha$, și $d \not\subset \alpha$. Ce poziție are $d$ față de $\alpha$ și de ce?

    Arată răspunsul

    Răspuns: $d \parallel \alpha$, prin criteriul de paralelism dreaptă–plan.

    Arată rezolvarea

    Condițiile criteriului sunt îndeplinite exact: dreaptă paralelă cu o dreaptă conținută, fără ca $d$ să fie conținută.

    Vezi lecția
14. Clasa a VIII-aMediu

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

    De ce, în criteriul pentru $\alpha\parallel\beta$, cele două drepte din $\alpha$ trebuie să fie concurente?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Pentru a determina două direcții diferite ale planului $\alpha$.

    Arată rezolvarea

    O singură direcție, sau două drepte paralele între ele, nu controlează toate direcțiile planului.

    Vezi lecția
15. Clasa a VIII-aMediu

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

    Dreptele $d$ și $e$ sunt necoplanare. Explică de ce unghiul lor nu poate fi citit direct, ca la dreptele concurente.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Pentru că nu au niciun punct comun, nu există un vârf în care să se măsoare direct un unghi; trebuie construit unul auxiliar.

    Arată rezolvarea

    Construcția translației paralele creează un vârf nou (concurent), unde unghiul devine măsurabil ca în plan.

    Vezi lecția
16. Clasa a VIII-aMediu

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

    Pentru unghiul dreptelor $BG$ și $AD$ ale cubului $ABCD$–$EFGH$, numește muchia paralelă cu $AD$ care trece prin $B$, apoi află măsura unghiului.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $BC$; unghiul este $45°$.

    Arată rezolvarea

    $AD \parallel BC$, iar $BC$ trece prin $B$, deci unghiul cerut este $\widehat{GBC}$. $BG$ este diagonala pătratului $BCGF$; triunghiul $BCG$ este dreptunghic în $C$ și isoscel ($BC = CG$), deci $\widehat{GBC} = 45°$.

    Vezi lecția
17. Clasa a VIII-aMediu

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

    Un elev spune: „$AE \parallel DH$, deci unghiul dintre $AF$ și $DH$ este egal cu unghiul $\widehat{FAE}$.” Este corect?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Da.

    Arată rezolvarea

    Pentru că $AE$ este paralela la $DH$ dusă printr-un punct ($A$) al lui $AF$, unghiul $\widehat{FAE}$ este exact unghiul cerut.

    Vezi lecția
18. Clasa a VIII-aMediu

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

    Planurile $\alpha$ și $\beta$ sunt paralele, iar $d\subset\alpha$. Poate dreapta $d$ să intersecteze planul $\beta$?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Nu; $d\parallel\beta$.

    Arată rezolvarea

    Dacă $d$ ar intersecta $\beta$, punctul de intersecție ar aparține ambelor plane, ceea ce contrazice $\alpha\parallel\beta$.

    Vezi lecția
19. Clasa a VIII-aMediu

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

    Dreptele $AB$ și $AD$ ale cubului $ABCD$–$EFGH$ sunt fiecare paralele cu planul $(EFGH)$. Ce se poate concluziona?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Fața $(ABCD)$ este paralelă cu fața $(EFGH)$.

    Arată rezolvarea

    $AB$ și $AD$ sunt concurente în $A$, deci criteriul plan–plan se aplică.

    Vezi lecția
20. Clasa a VIII-aMediu

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

    Explică de ce unghiul a două drepte necoplanare nu depinde de punctul ales pentru translația paralelă.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Pentru că translația paralelă păstrează direcția dreptei, indiferent prin ce punct trece; unghiul se calculează din direcții, nu din poziție.

    Arată rezolvarea

    Două paralele la aceeași dreaptă, duse prin puncte diferite, au exact aceeași direcție, deci dau același unghi.

    Vezi lecția