Exerciții de matematică cu răspunsuri

Clasa a VII-aMediu

CerculUnghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

Cercul are raza $5\text{ cm}$ iar coarda $AB$ are $8\text{ cm}$ Află distanța de la centru la coardă.

Arată răspunsul

Răspuns: $3\text{ cm}$

Arată rezolvarea

Perpendiculara $OM$ cade în mijlocul coardei: $AM = 4\text{ cm}$ $OM = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3\text{ cm}$

Vezi lecția

Clasa a VII-aMediu

CerculUnghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

Cercul are raza $17\text{ cm}$ O coardă se află la $8\text{ cm}$ de centru. Află lungimea coardei.

Arată răspunsul

Răspuns: $30\text{ cm}$

Arată rezolvarea

Jumătatea coardei: $\sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15\text{ cm}$ Coarda are $2 \cdot 15 = 30\text{ cm}$

Vezi lecția

Clasa a VII-aMediu

CerculUnghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

În figură, $OM \perp AB$ $ON \perp CD$ și $AB = CD = 16\text{ cm}$ Știind că $OM = 6\text{ cm}$ află $ON$ și raza cercului.

Arată răspunsul

Răspuns: $ON = 6\text{ cm}$ $r = 10\text{ cm}$

Arată rezolvarea

Coarde congruente sunt egal depărtate de centru, deci $ON = OM = 6\text{ cm}$ În triunghiul $OMA$ $AM = 8\text{ cm}$ $r = OA = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$

Vezi lecția

Clasa a VII-aMediu

CerculUnghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

Justifică pe scurt: dacă $O$ este centrul cercului și $OM \perp AB$ cu $M$ pe coarda $AB$ de ce este $M$ mijlocul lui $AB$

Arată răspunsul

Răspuns: Pentru că triunghiul $OAB$ este isoscel.

Arată rezolvarea

$OA = OB$ (raze), deci triunghiul $OAB$ este isoscel cu baza $AB$ Înălțimea $OM$ dusă pe bază este și mediană, deci $AM = MB$

Vezi lecția

Clasa a VII-aProvocare

CerculUnghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

Într-un cerc de rază $5\text{ cm}$ coarda $AB$ este la $3\text{ cm}$ de centru, iar coarda $CD$ la $4\text{ cm}$ Află lungimile coardelor și spune care coardă este mai aproape de centru.

Arată răspunsul

Răspuns: $AB = 8\text{ cm}$ $CD = 6\text{ cm}$ $AB$ este mai aproape de centru și mai lungă.

Arată rezolvarea

Jumătățile: $\sqrt{25 - 9} = 4$ și $\sqrt{25 - 16} = 3$ deci $AB = 8\text{ cm}$ și $CD = 6\text{ cm}$ Coardele nu sunt egal depărtate, deci nu sunt congruente: cea mai apropiată de centru este mai lungă.

Vezi lecția

Clasa a VII-aProvocare

CerculUnghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

Două unghiuri înscrise în același cerc subîntind arce mici, unul de $3$ ori mai mare decât celălalt, iar suma celor două unghiuri înscrise este $80°$ Află cele două unghiuri înscrise.

Arată răspunsul

Răspuns: $20°$ și $60°$

Arată rezolvarea

Fie arcele $x$ și $3x$ unghiurile înscrise sunt $x/2$ și $3x/2$ cu suma $2x = 80°$ deci $x = 40°$ unghiurile sunt $20°$ și $60°$

Vezi lecția

Clasa a VII-aProvocare

CerculUnghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

Din punctul exterior $P$ se duc tangentele $PA$ $PB$ la un cerc de centru $O$ și rază $r = 7\text{ cm}$ Perimetrul patrulaterului $OAPB$ (parcurs $O \to A \to P \to B \to O$ este $50\text{ cm}$ Află $PA$

Arată răspunsul

Răspuns: $18\text{ cm}$

Arată rezolvarea

$OA = OB = 7\text{ cm}$ (raze) și $PA = PB$ (tangente egale). Perimetrul: $7 + PA + PA + 7 = 50$ deci $2 \cdot PA = 36$ $PA = 18\text{ cm}$

Vezi lecția

Clasa a VII-aProvocare

CerculUnghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

Cercul are raza $6\text{ cm}$ Din $P$ exterior se duce o tangentă cu $PT = 8\text{ cm}$ Care este cea mai scurtă distanță de la $P$ la un punct al cercului?

Arată răspunsul

Răspuns: $4\text{ cm}$

Arată rezolvarea

$OP = \sqrt{6^2+8^2} = 10\text{ cm}$ Cel mai apropiat punct al cercului de $P$ este pe segmentul $OP$ la distanța $OP - r = 10 - 6 = 4\text{ cm}$

Vezi lecția

Clasa a VII-aProvocare

CerculUnghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

Triunghiul $ABC$ este înscris într-un cerc, cu $\angle BAC = 90°$ Ce este $BC$ față de cerc? Dacă $BC = 20\text{ cm}$ cât este raza cercului?

Arată răspunsul

Răspuns: $BC$ este diametru; $r = 10\text{ cm}$

Arată rezolvarea

Reciproca unghiului din semicerc: un unghi înscris drept are latura opusă diametru. $r = 20 : 2 = 10\text{ cm}$

Vezi lecția

Clasa a VII-aProvocare

CerculUnghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

Într-un cerc, arcul mic $\overset{\frown}{CD} = 40°$ iar arcul mic $\overset{\frown}{AB}$ este de $3$ ori mai mare. Află $\overset{\frown}{AB}$ compară unghiurile înscrise care subîntind cele două arce și spune care coardă este mai lungă.

Arată răspunsul

Răspuns: $\overset{\frown}{AB} = 120°$ unghiurile înscrise sunt $60°$ și $20°$ coarda $AB$ este mai lungă.

Arată rezolvarea

$\overset{\frown}{AB} = 3 \cdot 40° = 120°$ Unghiurile înscrise: $120° : 2 = 60°$ și $40° : 2 = 20°$ Arcul lui $AB$ este mai mare (ambele sunt arce mici), deci coarda $AB$ este mai lungă.

Vezi lecția

Clasa a VII-aProvocare

CerculUnghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

Din $P$ se duc tangentele $PT_1$ $PT_2$ la un cerc de centru $O$ și rază $r$ Dacă $\angle T_1PT_2 = 60°$ află $\angle T_1OT_2$ și unghiurile triunghiului $OT_1T_2$

Arată răspunsul

Răspuns: $\angle T_1OT_2 = 120°$ triunghiul $OT_1T_2$ este isoscel, cu unghiurile $120°$ $30°$ $30°$

Arată rezolvarea

$\angle T_1OT_2 = 360° - 90° - 90° - 60° = 120°$ (suma unghiurilor patrulaterului $OT_1PT_2$ Cu $OT_1 = OT_2 = r$ unghiurile de la bază $T_1$ $T_2$ ale triunghiului isoscel $OT_1T_2$ sunt $(180° - 120°) : 2 = 30°$ fiecare.

Vezi lecția

Clasa a VII-aProvocare

CerculUnghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

Unghiul înscris $\angle ACB$ subîntinde arcul mic $\overset{\frown}{AB}$ iar unghiul înscris $\angle ADB$ (cu $D$ pe arcul mic) subîntinde arcul mare $\overset{\frown}{AB}$ Dacă $\angle ACB = 35°$ află $\angle ADB$

Arată răspunsul

Răspuns: $145°$

Arată rezolvarea

Arcul mic este $70°$ arcul mare este $290°$ iar $\angle ADB = 290° : 2 = 145°$ Verificare: $\angle ACB + \angle ADB = 35° + 145° = 180°$ (unghiurile înscrise pe cele două arce ale aceleiași coarde sunt suplementare).