Exerciții de matematică cu răspunsuri

2589 exerciții · pagina 87 din 130

1. Clasa a VII-aUșor

   Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

   Coardele $MN$ și $PQ$ ale unui cerc subîntind arce egale de $70°$. Ce poți spune despre lungimile lor?

   Arată răspunsul

   Răspuns: $MN = PQ$

   Arată rezolvarea

   Arce egale, deci coarde egale.

   Vezi lecția
2. Clasa a VII-aUșor

   Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

   Dintr-un punct exterior $P$ se duc tangentele $PA$ și $PB$ la un cerc, $PA = 9\text{ cm}$. Cât este $PB$?

   Arată răspunsul

   Răspuns: $9\text{ cm}$

   Arată rezolvarea

   Tangentele dintr-un punct exterior sunt egale.

   Vezi lecția
3. Clasa a VII-aUșor

   Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

   Dreapta $a$ este tangentă la cercul de centru $O$ în $T$. Ce fel de unghi formează $OT$ cu $a$?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Unghi drept ($90°$).

   Vezi lecția
4. Clasa a VII-aUșor

   Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

   Adevărat sau fals? „Unghiul înscris are vârful în centrul cercului.”

   Arată răspunsul

   Răspuns: Fals.

   Arată rezolvarea

   Vârful unghiului înscris este pe cerc, nu în centru.

   Vezi lecția
5. Clasa a VII-aUșor

   Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

   Arcul mic $\overset{\frown}{AB} = 84°$. Cât este unghiul înscris $\angle ACB$, cu $C$ pe arcul mare?

   Arată răspunsul

   Răspuns: $42°$

   Arată rezolvarea

   $84° : 2 = 42°$.

   Vezi lecția
6. Clasa a VII-aUșor

   Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

   Diametrul $CD$ al unui cerc este perpendicular pe coarda $AB$ în $M$, iar $AB = 18\text{ cm}$. Cât este $AM$?

   Arată răspunsul

   Răspuns: $9\text{ cm}$

   Arată rezolvarea

   Diametrul perpendicular pe o coardă o înjumătățește: $AM = 18 : 2 = 9\text{ cm}$.

   Vezi lecția
7. Clasa a VII-aUșor

   Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

   Coardele $PQ$ și $RS$ ale unui cerc sunt amândouă la $6\text{ cm}$ de centru, iar $PQ = 14\text{ cm}$. Cât este $RS$?

   Arată răspunsul

   Răspuns: $14\text{ cm}$

   Arată rezolvarea

   Coarde egal depărtate de centru sunt congruente.

   Vezi lecția
8. Clasa a VII-aUșor

   Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

   În figură, diametrul $CD$ este perpendicular pe coarda $AB$ în $M$. Ce poți spune despre segmentele $AM$ și $MB$ și despre arcele $\overset{\frown}{AD}$ și $\overset{\frown}{DB}$?

   Arată răspunsul

   Răspuns: $AM = MB$ și $\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{DB}$.

   Arată rezolvarea

   Diametrul perpendicular pe o coardă înjumătățește atât coarda, cât și arcul ei.

   Vezi lecția
9. Clasa a VII-aMediu

   Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

   Unghiul înscris $\angle ACB = 55°$. Ce măsură are arcul mare $\overset{\frown}{AB}$ (cel care conține pe $C$)?

   Arată răspunsul

   Răspuns: $250°$

   Arată rezolvarea

   Arcul mic este $2 \cdot 55° = 110°$, deci arcul mare este $360° - 110° = 250°$.

   Vezi lecția
10. Clasa a VII-aMediu

    Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

    În figură, $C$ și $D$ sunt pe arcul mare $\overset{\frown}{AB}$, iar $\angle ACB = 63°$. Cât este $\angle ADB$?

    Arată răspunsul

    Răspuns: $63°$

    Arată rezolvarea

    Amândouă subîntind același arc mic $\overset{\frown}{AB}$.

    Vezi lecția
11. Clasa a VII-aMediu

    Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

    Un triunghi $ABC$ este înscris într-un cerc, iar $BC$ este diametru. Ce fel de triunghi este $ABC$, după unghiuri?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Dreptunghic, cu unghiul drept în $A$.

    Arată rezolvarea

    $\angle BAC$ este unghi înscris într-un semicerc.

    Vezi lecția
12. Clasa a VII-aMediu

    Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

    Cercul are raza $r = 5\text{ cm}$. Din $P$ exterior, $OP = 13\text{ cm}$. Află lungimea tangentei duse din $P$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $12\text{ cm}$

    Arată rezolvarea

    $PT = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\text{ cm}$.

    Vezi lecția
13. Clasa a VII-aMediu

    Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

    Tangenta dusă din $P$ la un cerc de rază $r = 9\text{ cm}$ are lungimea $PT = 12\text{ cm}$. Cât este $OP$?

    Arată răspunsul

    Răspuns: $15\text{ cm}$

    Arată rezolvarea

    $OP = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\text{ cm}$.

    Vezi lecția
14. Clasa a VII-aMediu

    Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

    Din $P$, tangenta $PT = 8\text{ cm}$, iar $OP = 17\text{ cm}$. Află raza cercului.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $15\text{ cm}$

    Arată rezolvarea

    $OT = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15\text{ cm}$.

    Vezi lecția
15. Clasa a VII-aMediu

    Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

    Arcele mici $\overset{\frown}{AB} = 96°$ și $\overset{\frown}{CD} = 54°$ din același cerc. Care coardă este mai lungă?

    Arată răspunsul

    Răspuns: $AB$

    Arată rezolvarea

    Arcul mai mare corespunde coardei mai lungi.

    Vezi lecția
16. Clasa a VII-aMediu

    Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

    Coardele $AB$ și $CD$ ale unui cerc sunt egale. Arcul mic $\overset{\frown}{AB} = 78°$. Cât este arcul mic $\overset{\frown}{CD}$?

    Arată răspunsul

    Răspuns: $78°$

    Arată rezolvarea

    Coarde egale, deci arce egale.

    Vezi lecția
17. Clasa a VII-aMediu

    Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

    Din $P$ se duc tangentele $PT_1$, $PT_2$ la un cerc de centru $O$, iar $\angle T_1PT_2 = 40°$. Cât este $\angle T_1OT_2$?

    Arată răspunsul

    Răspuns: $140°$

    Arată rezolvarea

    În patrulaterul $OT_1PT_2$: $90° + 90° + 40° + \angle T_1OT_2 = 360°$, deci $\angle T_1OT_2 = 140°$.

    Vezi lecția
18. Clasa a VII-aMediu

    Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

    Unghiul la centru al unui arc este cu $34°$ mai mare decât unghiul înscris pe același arc. Află cele două unghiuri.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Unghiul înscris $34°$, unghiul la centru $68°$.

    Arată rezolvarea

    Notez unghiul înscris $x$: unghiul la centru este $2x$, iar $2x - x = 34°$, deci $x = 34°$ și $2x = 68°$.

    Vezi lecția
19. Clasa a VII-aMediu

    Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

    Un unghi la centru și unghiul înscris pe același arc au împreună $126°$. Află cele două unghiuri.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Unghiul înscris $42°$, unghiul la centru $84°$.

    Arată rezolvarea

    Notez unghiul înscris $x$, unghiul la centru $2x$: $x + 2x = 126°$, $3x = 126°$, $x = 42°$.

    Vezi lecția
20. Clasa a VII-aMediu

    Cercul›Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

    Arcul mic $\overset{\frown}{AB}$ este de $3$ ori mai mic decât arcul mare $\overset{\frown}{AB}$. Află unghiul înscris care subîntinde arcul mic.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $45°$

    Arată rezolvarea

    Arcul mic $x$, arcul mare $3x$: $x + 3x = 360°$, $x = 90°$. Unghiul înscris care subîntinde arcul mic este $90° : 2 = 45°$.

    Vezi lecția