Exerciții de matematică cu răspunsuri

2589 exerciții · pagina 72 din 130

1. Clasa a VII-aMediu

   Numere reale›Scoaterea și introducerea factorilor de sub radical

   Scoate factorul de sub radical: $\sqrt{75}$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $\sqrt{75} = 5\sqrt{3}$.

   Arată rezolvarea

   $75 = 25\cdot 3$, iar $\sqrt{25} = 5$.

   Vezi lecția
2. Clasa a VII-aMediu

   Numere reale›Scoaterea și introducerea factorilor de sub radical

   Scrie $\sqrt{700}$ în formă simplă.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $\sqrt{700} = 10\sqrt{7}$.

   Arată rezolvarea

   $700 = 100\cdot 7$, iar $\sqrt{100} = 10$. Dacă pornești de la $700 = 4\cdot 175$, mai trebuie să simplifici $\sqrt{175} = 5\sqrt{7}$.

   Vezi lecția
3. Clasa a VII-aMediu

   Numere reale›Scoaterea și introducerea factorilor de sub radical

   Calculează $\sqrt{(-7)^2}$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $\sqrt{(-7)^2} = 7$.

   Arată rezolvarea

   $(-7)^2 = 49$, iar $\sqrt{49} = 7 = \lvert -7\rvert$. Rădăcina pătrată este nenegativă.

   Vezi lecția
4. Clasa a VII-aMediu

   Numere reale›Scoaterea și introducerea factorilor de sub radical

   Scrie $-2\sqrt{5}$ folosind un singur radical.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $-2\sqrt{5} = -\sqrt{20}$.

   Arată rezolvarea

   Introduci sub radical doar partea pozitivă: $2\sqrt{5} = \sqrt{4\cdot 5} = \sqrt{20}$, iar minusul rămâne în față. $-2\sqrt{5} = \sqrt{20}$ ar fi greșit.

   Vezi lecția
5. Clasa a VII-aProvocare

   Numere reale›Scoaterea și introducerea factorilor de sub radical

   Sunt egale numerele $\sqrt{72}$ și $6\sqrt{2}$? Justifică.

   Arată răspunsul

   Răspuns: Da.

   Arată rezolvarea

   $\sqrt{72} = \sqrt{36\cdot 2} = 6\sqrt{2}$. Sau invers: $6\sqrt{2} = \sqrt{36\cdot 2} = \sqrt{72}$. Cele două forme sunt scrieri diferite ale aceluiași număr.

   Vezi lecția
6. Clasa a VII-aProvocare

   Numere reale›Scoaterea și introducerea factorilor de sub radical

   Fără calculator, care este mai mare: $3\sqrt{5}$ sau $\sqrt{50}$?

   Arată răspunsul

   Răspuns: $\sqrt{50}$ este mai mare.

   Arată rezolvarea

   Aduc ambele sub radical: $3\sqrt{5} = \sqrt{9\cdot 5} = \sqrt{45}$. Cum $45 < 50$, avem $\sqrt{45} < \sqrt{50}$, deci $3\sqrt{5} < \sqrt{50}$.

   Vezi lecția
7. Clasa a VII-aProvocare

   Numere reale›Scoaterea și introducerea factorilor de sub radical

   Scrie $\sqrt{288}$ în formă simplă.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $\sqrt{288} = 12\sqrt{2}$.

   Arată rezolvarea

   $288 = 144\cdot 2$, iar $\sqrt{144} = 12$. Sau prin factori primi: $288 = 2^5\cdot 3^2 = \left(2^2\cdot 3\right)^2\cdot 2 = 144\cdot 2$.

   Vezi lecția
8. Clasa a VII-aUșor

   Numere reale›Numere iraționale. Mulțimea numerelor reale

   Este $7$ un număr rațional? Justifică pe scurt.

   Arată răspunsul

   Răspuns: Da.

   Arată rezolvarea

   $7 = \dfrac{7}{1}$, raport de numere întregi cu numitorul diferit de $0$.

   Vezi lecția
9. Clasa a VII-aUșor

   Numere reale›Numere iraționale. Mulțimea numerelor reale

   Ce fel de număr este $0{,}5$: rațional sau irațional?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Rațional.

   Arată rezolvarea

   $0{,}5$ are zecimală finită: $0{,}5 = \dfrac{1}{2}$.

   Vezi lecția
10. Clasa a VII-aUșor

    Numere reale›Numere iraționale. Mulțimea numerelor reale

    Este $\sqrt{49}$ rațional sau irațional?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Rațional.

    Arată rezolvarea

    $49 = 7^2$ este pătrat perfect, deci $\sqrt{49} = 7$.

    Vezi lecția
11. Clasa a VII-aUșor

    Numere reale›Numere iraționale. Mulțimea numerelor reale

    Completează cu $\subset$: $\mathbb{Z} \;\square\; \mathbb{Q}$ și $\mathbb{Q} \;\square\; \mathbb{R}$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ și $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.

    Arată rezolvarea

    Orice întreg este rațional; orice rațional este real.

    Vezi lecția
12. Clasa a VII-aUșor

    Numere reale›Numere iraționale. Mulțimea numerelor reale

    Adevărat sau fals: $\sqrt{2}$ este un număr real.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Adevărat.

    Arată rezolvarea

    $\sqrt{2} \in \mathbb{R}$; este irațional, dar tot real.

    Vezi lecția
13. Clasa a VII-aMediu

    Numere reale›Numere iraționale. Mulțimea numerelor reale

    Pentru fiecare număr dă cea mai mică mulțime din care face parte: $-6$, $\sqrt{3}$, $\dfrac{2}{5}$, $\sqrt{36}$, $0$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $-6 \in \mathbb{Z}$; $\sqrt{3} \in \mathbb{R}$; $\dfrac{2}{5} \in \mathbb{Q}$; $\sqrt{36} \in \mathbb{N}$; $0 \in \mathbb{N}$.

    Arată rezolvarea

    $\sqrt{3}$ este irațional ($3$ nu e pătrat perfect); $\sqrt{36} = 6$; $\dfrac{2}{5}$ nu este întreg.

    Vezi lecția
14. Clasa a VII-aMediu

    Numere reale›Numere iraționale. Mulțimea numerelor reale

    Este $0{,}(6)$ rațional? Justifică.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Da.

    Arată rezolvarea

    Zecimala este infinită, dar periodică: $0{,}(6) = \dfrac{2}{3}$.

    Vezi lecția
15. Clasa a VII-aMediu

    Numere reale›Numere iraționale. Mulțimea numerelor reale

    Adevărat sau fals: $\sqrt{2} \in \mathbb{R}$ și $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Prima este adevărată, a doua este falsă.

    Arată rezolvarea

    $\sqrt{2}$ este real, dar irațional, deci nu este în $\mathbb{Q}$: $\sqrt{2} \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$.

    Vezi lecția
16. Clasa a VII-aMediu

    Numere reale›Numere iraționale. Mulțimea numerelor reale

    Completează cu $\in$ sau $\subset$: $\pi \;\square\; \mathbb{R}$ și $\mathbb{N} \;\square\; \mathbb{R}$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $\pi \in \mathbb{R}$ și $\mathbb{N} \subset \mathbb{R}$.

    Arată rezolvarea

    $\pi$ este un număr (deci $\in$); $\mathbb{N}$ este o mulțime (deci $\subset$).

    Vezi lecția
17. Clasa a VII-aMediu

    Numere reale›Numere iraționale. Mulțimea numerelor reale

    Dă un exemplu de număr irațional cuprins între $3$ și $4$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: De exemplu $\sqrt{10}$, $\sqrt{11}$, $\sqrt{12}$, $\sqrt{13}$, $\sqrt{14}$ sau $\sqrt{15}$.

    Arată rezolvarea

    $3^2 = 9$ și $4^2 = 16$, deci $\sqrt{n}$ este între $3$ și $4$ pentru $9 < n < 16$; niciunul dintre $10, 11, 12, 13, 14, 15$ nu este pătrat perfect. $\pi$ este și el bun.

    Vezi lecția
18. Clasa a VII-aProvocare

    Numere reale›Numere iraționale. Mulțimea numerelor reale

    Este $\sqrt{8}$ un număr irațional? Justifică fără calculator.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Da.

    Arată rezolvarea

    $8$ nu este pătrat perfect: $2^2 = 4$ și $3^2 = 9$. Pentru un natural care nu este pătrat perfect, rădăcina este irațională. Scrierea $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ arată același lucru: $\sqrt{2}$ este irațional.

    Vezi lecția
19. Clasa a VII-aProvocare

    Numere reale›Numere iraționale. Mulțimea numerelor reale

    Numărul $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$ este rațional sau irațional?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Rațional.

    Arată rezolvarea

    $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$, care este număr natural. Produsul a două numere iraționale poate ieși rațional.

    Vezi lecția
20. Clasa a VII-aProvocare

    Numere reale›Numere iraționale. Mulțimea numerelor reale

    Numărul $0{,}1010010001000010\ldots$, în care după fiecare $1$ apare cu un $0$ mai mult, este rațional sau irațional?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Irațional.

    Arată rezolvarea

    Zecimala este infinită și nu are perioadă: grupele de $0$ se lungesc mereu, deci nicio grupă de cifre nu se repetă la nesfârșit. Un număr cu zecimală infinită neperiodică este irațional.

    Vezi lecția