Exerciții de matematică cu răspunsuri

2589 exerciții · pagina 62 din 130

1. Clasa a VI-aProvocare

   Linii importante în triunghi›Bisectoarele și cercul înscris. Mediatoarele și cercul circumscris

   Un punct $P$ din interiorul triunghiului $ABC$ este la aceeași distanță de toate cele trei laturi. Ce punct este $P$? Ce cerc are centrul în $P$?

   Arată răspunsul

   Răspuns: incentrul $I$; cercul înscris

   Arată rezolvarea

   Un punct interior egal depărtat de laturile unui unghi este pe bisectoarea lui. $P$ este pe toate bisectoarele, deci $P = I$.

   Vezi lecția
2. Clasa a VI-aProvocare

   Linii importante în triunghi›Bisectoarele și cercul înscris. Mediatoarele și cercul circumscris

   În figură sunt desenate două elemente legate de latura $AC$. Care este bisectoare și care este mediatoare? Ce greșeală ar face cine ar spune că $E$ este mijlocul lui $AC$?

   Arată răspunsul

   Răspuns: $BE$ este bisectoarea unghiului $B$; dreapta prin $N$ este mediatoarea lui $AC$. $E$ nu este mijlocul: mijlocul este $N$.

   Arată rezolvarea

   Arcele egale din $B$ arată că $BE$ împarte unghiul, nu latura. Liniuțele egale și careul din $N$ arată mediatoarea: $N$ este mijlocul lui $AC$.

   Vezi lecția
3. Clasa a VI-aProvocare

   Linii importante în triunghi›Bisectoarele și cercul înscris. Mediatoarele și cercul circumscris

   În triunghiul obtuzunghic din figură, s-au construit doar două bisectoare. Unde este incentrul și de ce nu e nevoie de a treia bisectoare?

   Arată răspunsul

   Răspuns: $I$ este punctul comun al bisectoarelor din $A$ și din $B$, în interior. A treia bisectoare trece oricum prin $I$.

   Arată rezolvarea

   Bisectoarele unui triunghi sunt concurente, deci două dintre ele fixează punctul $I$. Incentrul este în interior în orice triunghi.

   Vezi lecția
4. Clasa a VI-aUșor

   Linii importante în triunghi›Înălțimile și medianele unui triunghi

   Cum se numește segmentul din vârful $A$, perpendicular pe dreapta $BC$?

   Arată răspunsul

   Răspuns: înălțimea din $A$

   Vezi lecția
5. Clasa a VI-aUșor

   Linii importante în triunghi›Înălțimile și medianele unui triunghi

   Cum se numește segmentul care unește vârful $A$ cu mijlocul laturii $BC$?

   Arată răspunsul

   Răspuns: mediana din $A$

   Vezi lecția
6. Clasa a VI-aUșor

   Linii importante în triunghi›Înălțimile și medianele unui triunghi

   Câte înălțimi și câte mediane are un triunghi?

   Arată răspunsul

   Răspuns: trei înălțimi și trei mediane

   Vezi lecția
7. Clasa a VI-aUșor

   Linii importante în triunghi›Înălțimile și medianele unui triunghi

   Cum se numește punctul comun al medianelor? Dar al înălțimilor?

   Arată răspunsul

   Răspuns: centrul de greutate $G$; ortocentrul $H$

   Vezi lecția
8. Clasa a VI-aUșor

   Linii importante în triunghi›Înălțimile și medianele unui triunghi

   Ce linie este desenată din $C$? Ce marcaj te ajută?

   Arată răspunsul

   Răspuns: înălțimea $CF$

   Arată rezolvarea

   Careul de unghi drept din $F$ arată $CF \perp AB$.

   Vezi lecția
9. Clasa a VI-aUșor

   Linii importante în triunghi›Înălțimile și medianele unui triunghi

   Ce linie este desenată din $B$? Ce marcaj te ajută?

   Arată răspunsul

   Răspuns: mediana $BN$

   Arată rezolvarea

   Liniuțele egale arată $AN = NC$, deci $N$ este mijlocul lui $AC$.

   Vezi lecția
10. Clasa a VI-aUșor

    Linii importante în triunghi›Înălțimile și medianele unui triunghi

    $AM$ este mediană și $BC = 10\text{ cm}$. Cât este $MC$?

    Arată răspunsul

    Răspuns: $5\text{ cm}$

    Vezi lecția
11. Clasa a VI-aMediu

    Linii importante în triunghi›Înălțimile și medianele unui triunghi

    $AD$ este înălțimea din $A$, iar $\angle C = 50°$. Află $\angle DAC$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $40°$

    Arată rezolvarea

    În $\triangle ADC$, $\angle ADC = 90°$: $\angle DAC = 180° - (90° + 50°) = 40°$.

    Vezi lecția
12. Clasa a VI-aMediu

    Linii importante în triunghi›Înălțimile și medianele unui triunghi

    $CP$ este mediana din $C$, iar $AP = 3{,}5\text{ cm}$. Află $AB$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $7\text{ cm}$

    Vezi lecția
13. Clasa a VI-aMediu

    Linii importante în triunghi›Înălțimile și medianele unui triunghi

    Unde este ortocentrul unui triunghi dreptunghic în $B$?

    Arată răspunsul

    Răspuns: în $B$

    Arată rezolvarea

    Catetele $BA$ și $BC$ sunt perpendiculare, deci sunt înălțimi și se întâlnesc în $B$.

    Vezi lecția
14. Clasa a VI-aMediu

    Linii importante în triunghi›Înălțimile și medianele unui triunghi

    Triunghiul din figură este obtuzunghic în $C$. $AD$ și $CE$ sunt înălțimi. Unde este piciorul $D$: pe latura $BC$ sau pe prelungirea ei? Dar piciorul $E$, față de latura $AB$?

    Arată răspunsul

    Răspuns: $D$ este pe prelungirea laturii $BC$, dincolo de $C$; $E$ este pe latura $AB$

    Arată rezolvarea

    Unghiul din $C$ este obtuz, deci perpendiculara din $A$ pe dreapta $BC$ cade dincolo de $C$ (porțiunea punctată). Înălțimea din vârful unghiului obtuz, $CE$, cade pe latura opusă, în interior.

    Vezi lecția
15. Clasa a VI-aMediu

    Linii importante în triunghi›Înălțimile și medianele unui triunghi

    Numește cele trei înălțimi și punctul lor comun din figură.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $AD$, $BE$, $CF$; ortocentrul $H$

    Vezi lecția
16. Clasa a VI-aMediu

    Linii importante în triunghi›Înălțimile și medianele unui triunghi

    În figură sunt desenate doar două linii, $BE$ și $CF$. Ce sunt ele, după marcaje? Cum se numește $G$ și prin ce punct al lui $BC$ trece dreapta $AG$?

    Arată răspunsul

    Răspuns: medianele din $B$ și din $C$; centrul de greutate; prin mijlocul lui $BC$

    Arată rezolvarea

    Liniuțele arată $AE = EC$ și $AF = FB$, deci $BE$ și $CF$ sunt mediane. $G$, punctul lor comun, este centrul de greutate. Medianele sunt concurente, deci și mediana din $A$ trece prin $G$: dreapta $AG$ ajunge în mijlocul lui $BC$.

    Vezi lecția
17. Clasa a VI-aMediu

    Linii importante în triunghi›Înălțimile și medianele unui triunghi

    Care dintre punctele $H$ și $G$ poate fi în afara triunghiului?

    Arată răspunsul

    Răspuns: $H$ (la triunghiul obtuzunghic)

    Arată rezolvarea

    Centrul de greutate este mereu în interior.

    Vezi lecția
18. Clasa a VI-aMediu

    Linii importante în triunghi›Înălțimile și medianele unui triunghi

    Pentru fiecare linie, spune dacă pornește obligatoriu dintr-un vârf: bisectoarea, mediana, înălțimea, mediatoarea.

    Arată răspunsul

    Răspuns: da, da, da, nu (mediatoarea)

    Vezi lecția
19. Clasa a VI-aProvocare

    Linii importante în triunghi›Înălțimile și medianele unui triunghi

    În $\triangle ABC$, $\angle B = 70°$, $\angle C = 40°$. $AD$ este înălțimea, iar $AE$ este bisectoarea unghiului $A$. Află $\angle DAE$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $15°$

    Arată rezolvarea

    $\angle A = 70°$, deci $\angle BAE = 35°$. În $\triangle ABD$: $\angle BAD = 90° - 70° = 20°$. $\angle DAE = 35° - 20° = 15°$.

    Vezi lecția
20. Clasa a VI-aProvocare

    Linii importante în triunghi›Înălțimile și medianele unui triunghi

    În figură, trei linii pornesc din $B$ spre latura $AC$. Spune care este înălțimea, care este bisectoarea și care este mediana, după ce marcaj o recunoști pe fiecare și de ce $P$, $Q$, $R$ sunt diferite.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $BQ$ înălțimea, $BR$ bisectoarea, $BP$ mediana

    Arată rezolvarea

    $BQ \perp AC$ (careu în $Q$), $P$ este mijlocul lui $AC$ (liniuțe), $BR$ împarte unghiul $B$ în două (arce la fel). Triunghiul este oarecare, deci cele trei condiții dau trei puncte diferite pe $AC$.

    Vezi lecția