Exerciții de matematică cu răspunsuri

Clasa a VI-aMediu

CerculCercul: elemente, unghi la centru, poziții relative

În figură, $O$ este centrul cercului, iar $M$ este un punct al cercului. Care dintre unghiurile marcate este unghi la centru: $\angle AOB$ sau $\angle AMB$

Arată răspunsul

Răspuns: $\angle AOB$

Arată rezolvarea

Vârful lui $\angle AOB$ este centrul $O$ Vârful lui $\angle AMB$ este $M$ un punct al cercului, nu centrul.

Vezi lecția

Clasa a VI-aMediu

CerculCercul: elemente, unghi la centru, poziții relative

Unghiul la centru $\angle AOB$ are $48°$ Află măsura arcului mic $\overset{\frown}{AB}$ și a arcului mare.

Arată răspunsul

Răspuns: Arcul mic: $48°$ Arcul mare: $312°$

Arată rezolvarea

Arcul mic are măsura unghiului la centru, $48°$ Arcul mare: $360° - 48° = 312°$

Vezi lecția

Clasa a VI-aMediu

CerculCercul: elemente, unghi la centru, poziții relative

Arcul mic $\overset{\frown}{AB}$ al cercului de centru $O$ are $135°$ Cât are $\angle AOB$ Cât are arcul mare?

Arată răspunsul

Răspuns: $\angle AOB = 135°$ arcul mare are $225°$

Arată rezolvarea

Unghiul la centru are măsura arcului mic. $360° - 135° = 225°$

Vezi lecția

Clasa a VI-aMediu

CerculCercul: elemente, unghi la centru, poziții relative

Cercul are centrul $O$ și raza $6\text{ cm}$ $OA = 4\text{ cm}$ $OB = 6\text{ cm}$ $OC = 9\text{ cm}$ Stabilește poziția punctelor $A$ $B$ $C$ față de cerc.

Arată răspunsul

Răspuns: $A$ în interior, $B$ pe cerc, $C$ în exterior.

Arată rezolvarea

$4 < 6$ $6 = 6$ $9 > 6$

Vezi lecția

Clasa a VI-aMediu

CerculCercul: elemente, unghi la centru, poziții relative

Cercul are raza $5\text{ cm}$ Distanțele de la centru la dreptele $m$ $n$ $p$ sunt $2\text{ cm}$ $5\text{ cm}$ $5{,}5\text{ cm}$ Stabilește poziția fiecărei drepte.

Arată răspunsul

Răspuns: $m$ secantă, $n$ tangentă, $p$ exterioară.

Arată rezolvarea

$2 < 5$ secantă; $5 = 5$ tangentă; $5{,}5 > 5$ exterioară.

Vezi lecția

Clasa a VI-aMediu

CerculCercul: elemente, unghi la centru, poziții relative

În figură, dreptele $a$ $b$ $c$ și cercul de centru $O$ Stabilește poziția fiecărei drepte față de cerc.

Arată răspunsul

Răspuns: $a$ secantă $2$ puncte comune), $b$ tangentă $1$ punct comun, $T$ $c$ exterioară $0$ puncte comune).

Vezi lecția

Clasa a VI-aMediu

CerculCercul: elemente, unghi la centru, poziții relative

Cercurile $\mathcal{C}_1(O_1, 6\text{ cm})$ și $\mathcal{C}_2(O_2, 4\text{ cm})$ Stabilește poziția lor dacă $O_1O_2 = 10\text{ cm}$ și apoi dacă $O_1O_2 = 1\text{ cm}$

Arată răspunsul

Răspuns: $O_1O_2 = 10\text{ cm}$ tangente exterior. $O_1O_2 = 1\text{ cm}$ interioare.

Arată rezolvarea

$R + r = 10\text{ cm}$ și $R - r = 2\text{ cm}$ $10 = R + r$ $1 < R - r$

Vezi lecția

Clasa a VI-aMediu

CerculCercul: elemente, unghi la centru, poziții relative

Ce poziție au cele două cercuri din figură și câte puncte comune au?

Arată răspunsul

Răspuns: Sunt secante, cu două puncte comune: $A$ și $B$

Vezi lecția

Clasa a VI-aMediu

CerculCercul: elemente, unghi la centru, poziții relative

Punctele $A$ $B$ $C$ sunt pe cercul de centru $O$ iar $\angle AOB$ $\angle BOC$ $\angle COA$ sunt în jurul lui $O$ $\angle AOB = 100°$ și $\angle BOC = 140°$ Află $\angle COA$

Arată răspunsul

Răspuns: $\angle COA = 120°$

Arată rezolvarea

$360° - 100° - 140° = 120°$

Vezi lecția

Clasa a VI-aProvocare

CerculCercul: elemente, unghi la centru, poziții relative

$AB$ este diametru în cercul de centru $O$ iar $C$ este un punct al cercului cu $\angle AOC = 70°$ Află $\angle COB$ măsura arcului mic $\overset{\frown}{AC}$ și măsura arcului mic $\overset{\frown}{CB}$

Arată răspunsul

Răspuns: $\angle COB = 110°$ arcul $\overset{\frown}{AC}$ are $70°$ arcul $\overset{\frown}{CB}$ are $110°$

Arată rezolvarea

$A$ $O$ $B$ sunt coliniare, deci $\angle AOC + \angle COB = 180°$ și $\angle COB = 110°$ Arcele mici au măsurile unghiurilor la centru.

Vezi lecția

Clasa a VI-aProvocare

CerculCercul: elemente, unghi la centru, poziții relative

Care afirmație este falsă? (a) Orice diametru este coardă. (b) Centrul cercului este un punct al cercului. (c) Discul conține cercul. (d) Un semicerc are $180°$

Arată răspunsul

Răspuns: (b)

Arată rezolvarea

Centrul este la distanța $0$ de el însuși, nu la distanța $r$ deci nu este pe cerc. Este în interiorul cercului.

Vezi lecția

Clasa a VI-aProvocare

CerculCercul: elemente, unghi la centru, poziții relative

În figură, $O$ este centrul cercului, $F$ este în exteriorul cercului, iar $H$ este în interiorul lui. Scrie toate razele, toate coardele și toate diametrele care apar în figură.

Arată răspunsul

Răspuns: Raze: $OA$ $OB$ $OC$ Coarde: $BC$ și $DE$ Diametru: $BC$

Arată rezolvarea

$OB$ și $OC$ sunt raze, fiind jumătățile diametrului $BC$ $OF$ nu este rază, pentru că $F$ nu este pe cerc. $GH$ nu este coardă, pentru că $H$ nu este pe cerc.

Vezi lecția

Clasa a VI-aProvocare

CerculCercul: elemente, unghi la centru, poziții relative

$AB$ este diametru în cercul de centru $O$ iar $P$ este pe cerc. Unghiul $\angle AOP$ este de $3$ ori mai mare decât $\angle POB$ Află cele două unghiuri și arcul mic $\overset{\frown}{PB}$

Arată răspunsul

Răspuns: $\angle POB = 45°$ $\angle AOP = 135°$ arcul $\overset{\frown}{PB}$ are $45°$

Arată rezolvarea

$\angle AOP + \angle POB = 180°$ (unghiuri suplementare). Notez $\angle POB = x$ $3x + x = 180°$ $4x = 180°$ $x = 45°$ Deci $\angle AOP = 135°$ iar arcul mic $\overset{\frown}{PB}$ are $45°$

Vezi lecția

Clasa a VI-aProvocare

CerculCercul: elemente, unghi la centru, poziții relative

Cercul $\mathcal{C}_1$ are raza de $7\text{ cm}$ Cercul $\mathcal{C}_2$ cu raza mai mică, este tangent exterior cu $\mathcal{C}_1$ iar distanța dintre centre este $10\text{ cm}$ Cât este raza lui $\mathcal{C}_2$ Ce poziție ar avea cercurile dacă centrele ar fi la $4\text{ cm}$ unul de altul?

Arată răspunsul

Răspuns: $r = 3\text{ cm}$ La $4\text{ cm}$ tangente interior.

Arată rezolvarea

Tangente exterior: $O_1O_2 = R + r$ deci $10 = 7 + r$ și $r = 3\text{ cm}$ $R - r = 7 - 3 = 4\text{ cm} = O_1O_2$ tangente interior.

Vezi lecția

Clasa a VI-aProvocare

CerculCercul: elemente, unghi la centru, poziții relative

Două cercuri au razele egale, de $4\text{ cm}$ iar distanța dintre centre este $8\text{ cm}$ Ce poziție au? Unde se află punctul lor comun?

Arată răspunsul

Răspuns: Tangente exterior; punctul comun este mijlocul segmentului $O_1O_2$

Arată rezolvarea

$O_1O_2 = 8\text{ cm} = 4\text{ cm} + 4\text{ cm} = R + r$ Punctul comun $T$ este pe segmentul $O_1O_2$ cu $O_1T = O_2T = 4\text{ cm}$ deci este mijlocul lui.

Vezi lecția

Clasa a VI-aUșor

TriunghiulTriunghiul: clasificare, perimetru, suma unghiurilor, unghi exterior

Scrie vârfurile, laturile și unghiurile triunghiului $DEF$

Arată răspunsul

Răspuns: Vârfuri: $D$ $E$ $F$ Laturi: $DE$ $EF$ $FD$ Unghiuri: $\angle D$ $\angle E$ $\angle F$

Vezi lecția

Clasa a VI-aUșor

TriunghiulTriunghiul: clasificare, perimetru, suma unghiurilor, unghi exterior

În $\triangle DEF$ ce latură se opune unghiului $E$

Arată răspunsul

Răspuns: $DF$

Arată rezolvarea

Latura opusă unui unghi este cea care nu trece prin vârful lui.

Vezi lecția

Clasa a VI-aUșor

TriunghiulTriunghiul: clasificare, perimetru, suma unghiurilor, unghi exterior

Clasifică după laturi triunghiul cu laturile de: a) $4\text{ cm}$ $4\text{ cm}$ $4\text{ cm}$ b) $3\text{ cm}$ $5\text{ cm}$ $6\text{ cm}$ c) $7\text{ cm}$ $4\text{ cm}$ $7\text{ cm}$