Exerciții de matematică cu răspunsuri

2589 exerciții · pagina 57 din 130

1. Clasa a VI-aMediu

   Drepte paralele și perpendiculare›Drepte perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă. Mediatoarea. Simetria față de o dreaptă

   Dreapta $d$ este mediatoarea segmentului $AB$, cu $AB = 9\text{ cm}$, și îl taie în $M$. Calculează $AM$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $AM = 4{,}5\text{ cm}$.

   Arată rezolvarea

   $M$ este mijlocul lui $AB$: $AM = 9 : 2 = 4{,}5\text{ cm}$.

   Vezi lecția
2. Clasa a VI-aMediu

   Drepte paralele și perpendiculare›Drepte perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă. Mediatoarea. Simetria față de o dreaptă

   Mediatoarea segmentului $AB$ îl taie în $M$, iar $AM = 3{,}5\text{ cm}$. Calculează $AB$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $AB = 7\text{ cm}$.

   Arată rezolvarea

   $AB = 2 \cdot AM = 2 \cdot 3{,}5 = 7\text{ cm}$.

   Vezi lecția
3. Clasa a VI-aMediu

   Drepte paralele și perpendiculare›Drepte perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă. Mediatoarea. Simetria față de o dreaptă

   $P'$ este simetricul lui $P$ față de dreapta $d$, iar $PP' = 12\text{ cm}$. Cât este distanța de la $P$ la $d$?

   Arată răspunsul

   Răspuns: $6\text{ cm}$.

   Arată rezolvarea

   $d$ este mediatoarea lui $PP'$ și îl taie în mijlocul $H$, cu $PH \perp d$. Distanța este $PH = 12 : 2 = 6\text{ cm}$.

   Vezi lecția
4. Clasa a VI-aMediu

   Drepte paralele și perpendiculare›Drepte perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă. Mediatoarea. Simetria față de o dreaptă

   $P$ și $P'$ sunt simetrice față de $d$. Ce unghi formează dreapta $PP'$ cu dreapta $d$?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Un unghi drept ($90°$).

   Arată rezolvarea

   Axa de simetrie este mediatoarea lui $PP'$, deci este perpendiculară pe $PP'$.

   Vezi lecția
5. Clasa a VI-aMediu

   Drepte paralele și perpendiculare›Drepte perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă. Mediatoarea. Simetria față de o dreaptă

   În figură, liniuțele arată că $M$ este mijlocul lui $AB$. Este dreapta $e$ mediatoarea lui $AB$?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Nu putem afirma că este.

   Arată rezolvarea

   $e$ trece prin mijlocul $M$, dar lipsește marcajul de unghi drept și nu avem date despre unghi. Fără $e \perp AB$ nu putem spune că $e$ este mediatoarea. (Pe desen, unghiul are de fapt $84°$.)

   Vezi lecția
6. Clasa a VI-aMediu

   Drepte paralele și perpendiculare›Drepte perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă. Mediatoarea. Simetria față de o dreaptă

   Pune în ordine pașii construcției mediatoarei lui $AB$: (1) trasezi dreapta $PQ$; (2) cu vârful în $B$, cu aceeași deschidere, tragi două arce; (3) deschizi compasul mai mult decât jumătate din $AB$; (4) cu vârful în $A$, tragi un arc deasupra și unul dedesubtul lui $AB$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: (3), (4), (2), (1).

   Vezi lecția
7. Clasa a VI-aMediu

   Drepte paralele și perpendiculare›Drepte perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă. Mediatoarea. Simetria față de o dreaptă

   Pe o foaie cu pătrățele, dreapta $d$ este o linie verticală a caietului. Punctul $P$ este pe un nod al rețelei, la $4$ pătrățele în stânga lui $d$. Unde se află simetricul $P'$?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Pe același rând, la $4$ pătrățele în dreapta lui $d$.

   Arată rezolvarea

   Liniile orizontale ale caietului sunt perpendiculare pe $d$, deci $PP'$ merge pe rândul lui $P$, iar $P'$ este la aceeași distanță de $d$, de partea cealaltă.

   Vezi lecția
8. Clasa a VI-aProvocare

   Drepte paralele și perpendiculare›Drepte perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă. Mediatoarea. Simetria față de o dreaptă

   Dreptele $a$ și $b$ sunt paralele, iar dreapta $c$ este perpendiculară pe $a$ în $A$ și o taie pe $b$ în $B$. Ce măsură are unghiul dintre $c$ și $b$?

   Arată răspunsul

   Răspuns: $90°$, deci $c \perp b$.

   Arată rezolvarea

   $c$ este secantă pentru paralelele $a$ și $b$. Unghiul din $A$ are $90°$, iar unghiul corespondent din $B$ este egal cu el, deci are tot $90°$. O dreaptă perpendiculară pe una dintre două paralele este perpendiculară și pe cealaltă.

   Vezi lecția
9. Clasa a VI-aProvocare

   Drepte paralele și perpendiculare›Drepte perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă. Mediatoarea. Simetria față de o dreaptă

   Distanța de la punctul $P$ la dreapta $d$ este $5\text{ cm}$. Poate exista pe $d$ un punct $A$ cu $PA = 4\text{ cm}$? Justifică.

   Arată răspunsul

   Răspuns: Nu.

   Arată rezolvarea

   Distanța, $5\text{ cm}$, este lungimea perpendicularei, cel mai scurt segment de la $P$ la $d$. Orice alt segment $PA$ are cel puțin $5\text{ cm}$.

   Vezi lecția
10. Clasa a VI-aProvocare

    Drepte paralele și perpendiculare›Drepte perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă. Mediatoarea. Simetria față de o dreaptă

    Un elev scrie: „$A$ este pe $d$ și $PA = 7\text{ cm}$, deci distanța de la $P$ la $d$ este $7\text{ cm}$.” Unde greșește?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Nu știm dacă $PA \perp d$.

    Arată rezolvarea

    Distanța este lungimea perpendicularei. Dacă $PA$ nu este perpendicular pe $d$, este o oblică, iar distanța este mai mică de $7\text{ cm}$.

    Vezi lecția
11. Clasa a VI-aProvocare

    Drepte paralele și perpendiculare›Drepte perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă. Mediatoarea. Simetria față de o dreaptă

    Dreapta $d$ este perpendiculară pe $AB$ în $M$, iar $AM = MB$. Un coleg spune că $d$ este „bisectoarea segmentului $AB$”. Corectează-l.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $d$ este mediatoarea segmentului $AB$.

    Arată rezolvarea

    Un segment are mediatoare, nu bisectoare. Bisectoarea este o semidreaptă care împarte un unghi în două unghiuri egale.

    Vezi lecția
12. Clasa a VI-aProvocare

    Drepte paralele și perpendiculare›Drepte perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă. Mediatoarea. Simetria față de o dreaptă

    Triunghiul $A'B'C'$ este simetricul triunghiului $ABC$ față de dreapta $d$. Dacă $AB = 5\text{ cm}$ și distanța de la $C$ la $d$ este $2\text{ cm}$, calculează $A'B'$ și $CC'$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $A'B' = 5\text{ cm}$, $CC' = 4\text{ cm}$.

    Arată rezolvarea

    Figura și simetrica ei se suprapun prin îndoire după $d$, deci $A'B' = AB = 5\text{ cm}$. $C$ și $C'$ sunt la câte $2\text{ cm}$ de $d$, de o parte și de alta, pe o perpendiculară pe $d$: $CC' = 2 + 2 = 4\text{ cm}$.

    Vezi lecția
13. Clasa a VI-aProvocare

    Drepte paralele și perpendiculare›Drepte perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă. Mediatoarea. Simetria față de o dreaptă

    $OA \perp OB$, iar semidreapta $OC$ este în interiorul unghiului $AOB$, cu $m(\angle AOC) = 3x$ și $m(\angle COB) = 2x$. Calculează $x$ și măsurile celor două unghiuri.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $x = 18°$, $m(\angle AOC) = 54°$, $m(\angle COB) = 36°$.

    Arată rezolvarea

    $3x + 2x = 90°$, deci $5x = 90°$ și $x = 18°$.

    Vezi lecția
14. Clasa a VI-aUșor

    Cercul›Cercul: elemente, unghi la centru, poziții relative

    Completează: cercul de centru $O$ și rază $r$ este mulțimea punctelor din plan …

    Arată răspunsul

    Răspuns: aflate la distanța $r$ de punctul $O$.

    Vezi lecția
15. Clasa a VI-aUșor

    Cercul›Cercul: elemente, unghi la centru, poziții relative

    Un cerc are raza de $7\text{ cm}$. Cât este diametrul?

    Arată răspunsul

    Răspuns: $14\text{ cm}$

    Arată rezolvarea

    $d = 2r = 2 \cdot 7\text{ cm} = 14\text{ cm}$.

    Vezi lecția
16. Clasa a VI-aUșor

    Cercul›Cercul: elemente, unghi la centru, poziții relative

    Un cerc are diametrul de $10\text{ cm}$. Cât este raza?

    Arată răspunsul

    Răspuns: $5\text{ cm}$

    Arată rezolvarea

    $r = d : 2 = 10\text{ cm} : 2 = 5\text{ cm}$.

    Vezi lecția
17. Clasa a VI-aUșor

    Cercul›Cercul: elemente, unghi la centru, poziții relative

    În figură, $O$ este centrul cercului. Care segment este rază, care este coardă care nu e diametru și care este diametru?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Raza: $OK$. Coarda care nu e diametru: $PQ$. Diametrul: $MN$.

    Vezi lecția
18. Clasa a VI-aUșor

    Cercul›Cercul: elemente, unghi la centru, poziții relative

    Adevărat sau fals? „Orice coardă a unui cerc este diametru.”

    Arată răspunsul

    Răspuns: Fals.

    Arată rezolvarea

    Doar coardele care trec prin centru sunt diametre. Afirmația corectă este invers: orice diametru este coardă.

    Vezi lecția
19. Clasa a VI-aUșor

    Cercul›Cercul: elemente, unghi la centru, poziții relative

    Cercul are centrul $O$ și raza $r$, iar punctul $P$ are $OP < r$. Aparține $P$ cercului? Dar discului?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Nu aparține cercului, dar aparține discului.

    Arată rezolvarea

    $P$ este în interiorul cercului. Discul conține cercul și interiorul lui.

    Vezi lecția
20. Clasa a VI-aUșor

    Cercul›Cercul: elemente, unghi la centru, poziții relative

    Câte puncte comune are cu cercul o dreaptă tangentă? Dar o dreaptă secantă? Dar una exterioară?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Tangenta: $1$. Secanta: $2$. Dreapta exterioară: $0$.

    Vezi lecția