Exerciții de matematică cu răspunsuri

2589 exerciții · pagina 41 din 130

1. Clasa a VI-aProvocare

   Rapoarte și proporții›Proporții derivate

   Din $\dfrac{6}{8} = \dfrac{9}{12}$, obține proporția derivată prin schimbarea mezilor, apoi din aceasta obține inversa ei. Verifică rezultatul final.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $\dfrac{9}{6} = \dfrac{12}{8}$, este proporție.

   Arată rezolvarea

   Schimbarea mezilor: $\dfrac{6}{9}=\dfrac{8}{12}$. Inversarea acesteia: $\dfrac{9}{6}=\dfrac{12}{8}$. Verificare: $9\times8=72$ și $6\times12=72$.

   Vezi lecția
2. Clasa a VI-aProvocare

   Rapoarte și proporții›Proporții derivate

   Rezolvă $\dfrac{18}{x} = \dfrac{9}{5}$ folosind inversarea, apoi verifică în proporția inițială.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $x = 10$

   Arată rezolvarea

   Inversare: $\dfrac{x}{18}=\dfrac{5}{9}$, deci $9x=18\times5=90$, $x=10$. Verificare: $18\times5=90$ și $10\times9=90$.

   Vezi lecția
3. Clasa a VI-aProvocare

   Rapoarte și proporții›Proporții derivate

   Explică, folosind proprietatea fundamentală, de ce schimbarea extremilor păstrează proporția, pornind de la $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ (cu $ad=bc$ și $a \neq 0$).

   Arată răspunsul

   Răspuns: $\dfrac{d}{b}=\dfrac{c}{a}$ este proporție pentru că $d\times a = b\times c$, aceeași egalitate ca $ad=bc$.

   Arată rezolvarea

   Extremii noii proporții sunt $d$ și $a$, mezii sunt $b$ și $c$. Produsul extremilor $d\times a$ este egal cu produsul mezilor $b\times c$ exact pentru că $ad=bc$ din proporția inițială. Condiția $a\neq0$ asigură că $\dfrac{c}{a}$ are sens.

   Vezi lecția
4. Clasa a VI-aProvocare

   Rapoarte și proporții›Proporții derivate

   Două numere au raportul $\dfrac{5}{2}$, iar diferența lor este $18$. Află-le folosind scăderea termenilor.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $30$ și $12$

   Arată rezolvarea

   Fie $\dfrac{a}{b}=\dfrac{5}{2}$ și $a-b=18$. Atunci $\dfrac{a-b}{b}=\dfrac{5-2}{2}$, adică $\dfrac{18}{b}=\dfrac{3}{2}$, deci $3b=36$ și $b=12$. Apoi $a=12+18=30$. Verificare: $30\times2=60$ și $12\times5=60$.

   Vezi lecția
5. Clasa a VI-aUșor

   Proporționalitate›Șir de rapoarte egale

   Este $\dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{5}{10}$ un șir de rapoarte egale?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Da.

   Arată rezolvarea

   Toate cele trei rapoarte sunt egale cu $\dfrac{1}{2}$.

   Vezi lecția
6. Clasa a VI-aUșor

   Proporționalitate›Șir de rapoarte egale

   Completează șirul $\dfrac{3}{4} = \dfrac{x}{8} = \dfrac{9}{y}$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $x=6$, $y=12$

   Arată rezolvarea

   Valoarea comună este $\dfrac{3}{4}$. Din $\dfrac{x}{8}=\dfrac{3}{4}$ rezultă $x=\dfrac{3}{4}\times8=6$. Din $\dfrac{9}{y}=\dfrac{3}{4}$ rezultă $3y=36$, deci $y=12$.

   Vezi lecția
7. Clasa a VI-aUșor

   Proporționalitate›Șir de rapoarte egale

   Completează: $\dfrac{x}{2} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{5}{10}$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $x=1$

   Arată rezolvarea

   Valoarea comună este $\dfrac{1}{2}$, deci $x = \dfrac{1}{2}\times2 = 1$.

   Vezi lecția
8. Clasa a VI-aUșor

   Proporționalitate›Șir de rapoarte egale

   Găsește valoarea comună a șirului $\dfrac{4}{8} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{x}{16}$, apoi află $x$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: Valoarea comună este $\dfrac{1}{2}$, $x=8$.

   Arată rezolvarea

   $\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$; $x=\dfrac{1}{2}\times16=8$.

   Vezi lecția
9. Clasa a VI-aUșor

   Proporționalitate›Șir de rapoarte egale

   Împarte $100$ în două părți direct proporționale cu $2$ și $3$.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $40$ și $60$

   Arată rezolvarea

   Valoarea comună este $\dfrac{100}{2+3}=20$; $20\times2=40$ și $20\times3=60$. Verificare: $40+60=100$.

   Vezi lecția
10. Clasa a VI-aMediu

    Proporționalitate›Șir de rapoarte egale

    Este $\dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{12} = \dfrac{14}{18}$ un șir de rapoarte egale? Motivează.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Nu.

    Arată rezolvarea

    $\dfrac{14}{18}=\dfrac{7}{9}$, care este diferit de $\dfrac{5}{6}$.

    Vezi lecția
11. Clasa a VI-aMediu

    Proporționalitate›Șir de rapoarte egale

    Completează: $\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{6} = \dfrac{10}{2}$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $x=20$, $y=30$

    Arată rezolvarea

    Valoarea comună este $\dfrac{10}{2}=5$; $x=5\times4=20$, $y=5\times6=30$.

    Vezi lecția
12. Clasa a VI-aMediu

    Proporționalitate›Șir de rapoarte egale

    Care este valoarea comună a șirului $\dfrac{3}{9} = \dfrac{5}{15} = \dfrac{7}{21}$?

    Arată răspunsul

    Răspuns: $\dfrac{1}{3}$

    Arată rezolvarea

    $\dfrac{3}{9}=\dfrac{5}{15}=\dfrac{7}{21}=\dfrac{1}{3}$.

    Vezi lecția
13. Clasa a VI-aMediu

    Proporționalitate›Șir de rapoarte egale

    Completează: $\dfrac{6}{8} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{x}{20}$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $x=15$

    Arată rezolvarea

    Valoarea comună este $\dfrac{3}{4}$; $x=\dfrac{3}{4}\times20=15$.

    Vezi lecția
14. Clasa a VI-aMediu

    Proporționalitate›Șir de rapoarte egale

    Rezolvă $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4}$, știind că $x + y = 21$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $x=9$, $y=12$

    Arată rezolvarea

    Valoarea comună este $\dfrac{21}{7}=3$; $x=3\times3=9$, $y=3\times4=12$.

    Vezi lecția
15. Clasa a VI-aMediu

    Proporționalitate›Șir de rapoarte egale

    O sumă de $90$ de lei se împarte între două persoane, direct proporțional cu numerele $4$ și $5$. Câți lei primește fiecare?

    Arată răspunsul

    Răspuns: $40$ lei și $50$ lei

    Arată rezolvarea

    Valoarea comună este $\dfrac{90}{9}=10$; $10\times4=40$ și $10\times5=50$.

    Vezi lecția
16. Clasa a VI-aMediu

    Proporționalitate›Șir de rapoarte egale

    Un elev scrie șirul $\dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{9}{14}$. Găsește greșeala și corectează-o.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Al treilea raport este greșit; corect este $\dfrac{9}{15}$.

    Arată rezolvarea

    $\dfrac{9}{14}$ nu este egal cu $\dfrac{3}{5}$. Pentru a păstra valoarea comună $\dfrac{3}{5}$, numărătorul $9$ cere numitorul $15$: $\dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}$.

    Vezi lecția
17. Clasa a VI-aMediu

    Proporționalitate›Șir de rapoarte egale

    Împarte $144$ în trei părți direct proporționale cu numerele $2$, $3$ și $7$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $24$, $36$, $84$

    Arată rezolvarea

    Valoarea comună este $\dfrac{144}{12}=12$; $12\times2=24$, $12\times3=36$, $12\times7=84$.

    Vezi lecția
18. Clasa a VI-aMediu

    Proporționalitate›Șir de rapoarte egale

    Trei elevi împart un premiu de $1200$ de lei, direct proporțional cu numerele $3$, $4$ și $5$. Câți lei primește fiecare?

    Arată răspunsul

    Răspuns: $300$ lei, $400$ lei și $500$ lei

    Arată rezolvarea

    Valoarea comună este $\dfrac{1200}{3+4+5}=\dfrac{1200}{12}=100$; $100\times3=300$, $100\times4=400$, $100\times5=500$.

    Vezi lecția
19. Clasa a VI-aProvocare

    Proporționalitate›Șir de rapoarte egale

    Trei numere $x$, $y$, $z$ sunt direct proporționale cu $2$, $3$ și $5$, iar $x + z = 63$. Află numerele.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $x=18$, $y=27$, $z=45$

    Arată rezolvarea

    Valoarea comună este $\dfrac{x+z}{2+5}=\dfrac{63}{7}=9$; $x=9\times2=18$, $y=9\times3=27$, $z=9\times5=45$. Verificare: $18+45=63$.

    Vezi lecția
20. Clasa a VI-aProvocare

    Proporționalitate›Șir de rapoarte egale

    Este $\dfrac{4}{10} = \dfrac{6}{15} = \dfrac{10}{25}$ un șir de rapoarte egale? Motivează prin valoarea comună.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Da.

    Arată rezolvarea

    $\dfrac{4}{10}=\dfrac{6}{15}=\dfrac{10}{25}=\dfrac{2}{5}$.

    Vezi lecția