Exerciții de matematică cu răspunsuri

2589 exerciții · pagina 127 din 130

1. Clasa a VIII-aUșor

   Arii și volume: prisme și piramide›Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

   Câte baze are un trunchi de piramidă?

   Arată răspunsul

   Răspuns: Două (baza mare și baza mică).

   Vezi lecția
2. Clasa a VIII-aUșor

   Arii și volume: prisme și piramide›Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

   Aria totală a unei prisme cu aria laterală $90$ cm² și aria bazei $12$ cm² este...

   Arată răspunsul

   Răspuns: $114$ cm².

   Arată rezolvarea

   $A_t=A_l+2A_b=90+24=114$ cm².

   Vezi lecția
3. Clasa a VIII-aMediu

   Arii și volume: prisme și piramide›Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

   O prismă dreaptă are baza un dreptunghi cu dimensiunile $4$ cm și $5$ cm, iar înălțimea prismei este $6$ cm. Calculează aria laterală, aria totală și volumul.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $A_l=108$ cm², $A_t=148$ cm², $V=120$ cm³.

   Arată rezolvarea

   $P_b=2(4+5)=18$ cm, $A_l=18\cdot6=108$ cm²; $A_b=20$ cm², $A_t=108+40=148$ cm²; $V=20\cdot6=120$ cm³.

   Vezi lecția
4. Clasa a VIII-aMediu

   Arii și volume: prisme și piramide›Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

   O prismă dreaptă are baza un triunghi echilateral cu latura $6$ cm (perimetru $18$ cm) și înălțimea prismei $9$ cm. Calculează aria laterală.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $162$ cm².

   Arată rezolvarea

   $A_l=P_b\cdot h=18\cdot9=162$ cm².

   Vezi lecția
5. Clasa a VIII-aMediu

   Arii și volume: prisme și piramide›Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

   O piramidă patrulateră regulată are baza latura $14$ cm și înălțimea $24$ cm. Calculează apotema piramidei.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $25$ cm.

   Arată rezolvarea

   Apotema bazei $=7$ cm; $a_p=\sqrt{24^2+7^2}=\sqrt{576+49}=\sqrt{625}=25$ cm.

   Vezi lecția
6. Clasa a VIII-aMediu

   Arii și volume: prisme și piramide›Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

   Pentru piramida de mai sus (baza latura $14$ cm, apotema $25$ cm), calculează aria laterală și aria totală.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $A_l=700$ cm², $A_t=896$ cm².

   Arată rezolvarea

   $P_b=56$ cm; $A_l=\dfrac{56\cdot25}{2}=700$ cm²; $A_b=196$ cm²; $A_t=700+196=896$ cm².

   Vezi lecția
7. Clasa a VIII-aMediu

   Arii și volume: prisme și piramide›Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

   Pentru aceeași piramidă (baza $196$ cm², înălțimea $24$ cm), calculează volumul.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $1\,568$ cm³.

   Arată rezolvarea

   $V=\dfrac{196\cdot24}{3}=1\,568$ cm³.

   Vezi lecția
8. Clasa a VIII-aMediu

   Arii și volume: prisme și piramide›Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

   O prismă dreaptă are volumul $200$ cm³ și înălțimea $8$ cm. Calculează aria bazei.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $25$ cm².

   Arată rezolvarea

   $A_b=\dfrac{V}{h}=\dfrac{200}{8}=25$ cm².

   Vezi lecția
9. Clasa a VIII-aMediu

   Arii și volume: prisme și piramide›Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

   O piramidă are volumul $96$ cm³ și baza cu aria $24$ cm². Calculează înălțimea piramidei.

   Arată răspunsul

   Răspuns: $12$ cm.

   Arată rezolvarea

   $h=\dfrac{3V}{A_b}=\dfrac{3\cdot96}{24}=12$ cm.

   Vezi lecția
10. Clasa a VIII-aMediu

    Arii și volume: prisme și piramide›Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

    Un trunchi de piramidă regulată are bazele pătrate cu laturile $6$ cm și $2$ cm, iar înălțimea $4$ cm. Calculează apotemele bazelor și apotema trunchiului.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Apotemele bazelor: $3$ cm și $1$ cm. Apotema trunchiului: $\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt5$ cm.

    Arată rezolvarea

    Apotemele bazelor sunt jumătate din laturi; apotema trunchiului $=\sqrt{h^2+(3-1)^2}=\sqrt{16+4}=2\sqrt5$ cm.

    Vezi lecția
11. Clasa a VIII-aMediu

    Arii și volume: prisme și piramide›Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

    Un rezervor are forma unei prisme drepte cu baza un pătrat cu latura $2$ m și înălțimea $3$ m. Calculează volumul, în litri.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $12\,000$ litri.

    Arată rezolvarea

    $V=4\cdot3=12$ m³; $1$ m³ $=1\,000$ litri, deci $12\,000$ litri.

    Vezi lecția
12. Clasa a VIII-aMediu

    Arii și volume: prisme și piramide›Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

    Un elev spune: „apotema piramidei este jumătate din latura bazei”. Explică de ce greșește.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Jumătate din latura bazei este apotema BAZEI, nu a piramidei. Apotema piramidei se calculează din apotema bazei și înălțimea piramidei, prin teorema lui Pitagora.

    Vezi lecția
13. Clasa a VIII-aProvocare

    Arii și volume: prisme și piramide›Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

    Un trunchi de piramidă regulată are bazele pătrate cu laturile $12$ cm și $4$ cm, iar apotema trunchiului este $5$ cm. Calculează înălțimea trunchiului.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $3$ cm.

    Arată rezolvarea

    Apotemele bazelor sunt $6$ cm și $2$ cm, diferența $4$ cm; $h^2=a_p^2-(a_1-a_2)^2=25-16=9$, deci $h=3$ cm.

    Vezi lecția
14. Clasa a VIII-aProvocare

    Arii și volume: prisme și piramide›Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

    O prismă dreaptă are baza fixă, dar înălțimea se triplează. De câte ori se schimbă volumul? Dar aria laterală?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Volumul se triplează; aria laterală se triplează și ea ($A_l=P_b\cdot h$, direct proporțională cu $h$).

    Arată rezolvarea

    $V=A_b\cdot h$ și $A_l=P_b\cdot h$ sunt amândouă direct proporționale cu $h$ (la $A_b$ și $P_b$ fixate), deci ambele se triplează. Aria totală NU se triplează (bazele, $2A_b$, rămân neschimbate).

    Vezi lecția
15. Clasa a VIII-aProvocare

    Arii și volume: prisme și piramide›Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

    O piramidă regulată are baza latura $a$ și apotema piramidei $a_p$. Dacă dublezi latura bazei, păstrând apotema piramidei neschimbată, de câte ori se schimbă aria laterală?

    Arată răspunsul

    Răspuns: De $2$ ori.

    Arată rezolvarea

    În $A_l=\dfrac{P_b\cdot a_p}{2}$, perimetrul $P_b$ se dublează odată cu latura, iar $a_p$ rămâne fix, deci $A_l$ se dublează.

    Vezi lecția
16. Clasa a VIII-aProvocare

    Arii și volume: prisme și piramide›Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

    Un trunchi de piramidă regulată are $A_1=81$ cm², $A_2=25$ cm² și înălțimea $6$ cm. Calculează volumul.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $302$ cm³.

    Arată rezolvarea

    $\sqrt{A_1A_2}=\sqrt{81\cdot25}=\sqrt{2025}=45$; $V=\dfrac{6}{3}(81+25+45)=2\cdot151=302$ cm³.

    Vezi lecția
17. Clasa a VIII-aProvocare

    Arii și volume: prisme și piramide›Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

    Explică, fără calcul numeric, de ce formula volumului trunchiului de piramidă, $V=\dfrac{h}{3}(A_1+A_2+\sqrt{A_1A_2})$, dă un rezultat MAI MIC decât volumul unei prisme cu aceeași înălțime și bază $A_1$ (cea mare).

    Arată răspunsul

    Răspuns: Pentru că trunchiul se îngustează spre baza mică ($A_2<A_1$), deci are mai puțin material decât o prismă cu baza $A_1$ pe toată înălțimea. În formulă: $A_2<A_1$ și $\sqrt{A_1A_2}<\sqrt{A_1A_1}=A_1$, deci $A_1+A_2+\sqrt{A_1A_2}<3A_1$ și $V<\dfrac{h}{3}\cdot 3A_1=A_1\cdot h$, adică volumul prismei.

    Vezi lecția
18. Clasa a VIII-aUșor

    Arii și volume: corpuri rotunde și sfera›Aria și volumul cilindrului, conului și trunchiului de con

    Scrie formula ariei laterale a unui cilindru cu raza $r$ și înălțimea $h$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $A_l = 2\pi r h$.

    Vezi lecția
19. Clasa a VIII-aUșor

    Arii și volume: corpuri rotunde și sfera›Aria și volumul cilindrului, conului și trunchiului de con

    Scrie formula volumului unui con cu raza $r$ și înălțimea $h$.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $V = \dfrac{\pi r^2 h}{3}$.

    Vezi lecția
20. Clasa a VIII-aUșor

    Arii și volume: corpuri rotunde și sfera›Aria și volumul cilindrului, conului și trunchiului de con

    Un cilindru are raza $2$ cm și înălțimea $7$ cm. Calculează aria laterală.

    Arată răspunsul

    Răspuns: $28\pi$ cm².

    Arată rezolvarea

    $A_l = 2\pi\cdot2\cdot7 = 28\pi$ cm².

    Vezi lecția